Teoría de la orden
La teoría del orden es una rama de las matemáticas que investiga la noción intuitiva de orden utilizando relaciones binarias . Proporciona un marco formal para describir declaraciones como "esto es menos que eso" o "esto precede a eso". Este artículo presenta el campo y proporciona definiciones básicas. Se puede encontrar una lista de términos de la teoría de órdenes en el glosario de teoría de órdenes .
Los pedidos están en todas partes en matemáticas y campos relacionados como la informática . El primer orden que se discute a menudo en la escuela primaria es el orden estándar de los números naturales, por ejemplo, "2 es menor que 3", "10 es mayor que 5" o "¿Tom tiene menos galletas que Sally?". Este concepto intuitivo se puede extender a órdenes en otros conjuntos de números , como los enteros y los reales . La idea de ser mayor o menor que otro número es una de las intuiciones básicas de los sistemas numéricos (comparar con los sistemas numéricos ) en general (aunque uno generalmente también está interesado en la diferencia realde dos números, que no viene dado por el orden). Otros ejemplos familiares de ordenamiento son el orden alfabético de las palabras en un diccionario y la propiedad genealógica de la descendencia lineal dentro de un grupo de personas.
La noción de orden es muy general y se extiende más allá de los contextos que tienen una sensación inmediata e intuitiva de secuencia o cantidad relativa. En otros contextos, las órdenes pueden captar nociones de contención o especialización. De manera abstracta, este tipo de orden equivale a la relación de subconjunto , por ejemplo, "Los pediatras son médicos " y "Los círculos son meras elipses de casos especiales ".
Algunos órdenes, como "menor que" en los números naturales y el orden alfabético en las palabras, tienen una propiedad especial: cada elemento se puede comparar con cualquier otro elemento, es decir, es más pequeño (antes) que, más grande (más tarde) que, o idéntico a. Sin embargo, muchos otros pedidos no lo hacen. Considere, por ejemplo, el orden de subconjuntos en una colección de conjuntos : aunque el conjunto de pájaros y el conjunto de perros son ambos subconjuntos del conjunto de animales, ni los pájaros ni los perros constituyen un subconjunto del otro. Los órdenes como la relación "subconjunto de" para los que existen elementos incomparables se denominan órdenes parciales ; Los pedidos para los que cada par de elementos es comparable son pedidos totales .
La teoría del orden captura la intuición de los órdenes que surge de tales ejemplos en un contexto general. Esto se logra especificando propiedades que una relación ≤ debe tener para ser un orden matemático. Este enfoque más abstracto tiene mucho sentido, porque se pueden derivar numerosos teoremas en el marco general, sin centrarse en los detalles de ningún orden en particular. Estos conocimientos se pueden transferir fácilmente a muchas aplicaciones menos abstractas.
Impulsados por el amplio uso práctico de los órdenes, se han definido numerosos tipos especiales de conjuntos ordenados, algunos de los cuales se han convertido en campos matemáticos propios. Además, la teoría del orden no se limita a las diversas clases de relaciones de orden, sino que también considera las funciones apropiadas entre ellas. Un ejemplo simple de una propiedad de la teoría del orden para funciones proviene del análisis donde se encuentran con frecuencia funciones monótonas .
