Este es un glosario de algunos términos utilizados en varias ramas de las matemáticas que están relacionados con los campos del orden , la retícula y la teoría de dominios . Tenga en cuenta que también hay una lista estructurada de temas de pedidos disponibles. Otros recursos útiles pueden ser los siguientes artículos de descripción general:
- propiedades de completitud de órdenes parciales
- leyes de distributividad de la teoría del orden
- propiedades de preservación de funciones entre posets.
A continuación, los pedidos parciales generalmente solo se indicarán mediante sus conjuntos de transportistas. Siempre que el significado pretendido sea claro en el contexto, ≤ será suficiente para denotar el símbolo relacional correspondiente, incluso sin una introducción previa. Además,
A
- Acíclico . Una relación binaria es acíclica si no contiene "ciclos": de manera equivalente, su cierre transitivo es antisimétrico . [1]
- Adjunto . Ver conexión de Galois .
- Topología de Alexandrov . Para un conjunto P preordenado, cualquier conjunto superior O es Alexandrov-open . Inversamente, una topología es Alexandrov si cualquier intersección de conjuntos abiertos está abierta.
- Poset algebraico . Un poset es algebraico si tiene una base de elementos compactos.
- Antichain . Un anticadena es un conjunto parcialmente ordenado en el que no hay dos elementos son comparables, es decir, no hay dos elementos distintos x y y de tal manera que x ≤ y . En otras palabras, la relación de orden de un antichain es solo la relación de identidad.
- Relación aproximada . Vea la relación muy por debajo .
- Una relación R en un conjunto X es antisimétrica , si x R y y y R x implica x = y , para todos los elementos x , y en X .
- Una función antitono f entre posets P y Q es una función para la cual, para todos los elementos x , y de P , x ≤ y (en P ) implica f ( y ) ≤ f ( x ) (en Q ). Otro nombre para esta propiedad es inversión de orden . En el análisis , en presencia de órdenes totales , estas funciones a menudo se denominan decrecientes monótonamente , pero esta no es una descripción muy conveniente cuando se trata de órdenes no totales. La noción dual se llama monótona o preservadora del orden .
- Asimétrico . Una relación R en un conjunto X es asimétrica, si x Ry implica no y R x , para todos los elementos x , y en X .
- Un átomo en un poset P con menos elemento 0, es un elemento que es mínimo entre todos los elementos que no son iguales a 0.
- Un posconjunto atómico P con menos elemento 0 es uno en el que, por cada elemento x de P distinto de cero , hay un átomo a de P con a ≤ x .
B
- Base . Ver poset continuo .
- Un álgebra de Boole es un retículo distributivo con el elemento menor 0 y el elemento mayor 1, en el que cada elemento x tiene un complemento ¬ x , tal que x ∧ ¬ x = 0 y x ∨ ¬ x = 1.
- Un poset acotado es aquel que tiene un elemento menor y un elemento mayor.
- Un poset está acotado completo si cada uno de sus subconjuntos con algún límite superior también tiene al menos dicho límite superior. La noción dual no es común.
C
- Cadena . Una cadena es un conjunto totalmente ordenado o un subconjunto totalmente ordenado de un poset. Consulte también el pedido total .
- Cadena completa . Un conjunto parcialmente ordenado en el que cada cadena tiene un límite superior mínimo .
- Operador de cierre . Un operador de cierre en el poset P es una función C : P → P que es monótona, idempotente , y satisface C ( x ) ≥ x para todo x en P .
- Compacto . Un elemento x de un poset es compacto si está muy por debajo de sí mismo, es decir, x << x . También se dice que tal x es finita .
- Comparable . Dos elementos x y Y de un poset P son comparables si cualquiera x ≤ y o y ≤ x .
- Gráfico de comparabilidad . El gráfico de comparabilidad de un poset ( P , ≤) es el gráfico con el conjunto de vértices P en el que las aristas son aquellos pares de elementos distintos de P que son comparables bajo ≤ (y, en particular, bajo su reducción reflexiva <).
- Álgebra booleana completa . Un álgebra de Boole que es una red completa.
- Completa álgebra de Heyting . Un álgebra de Heyting que es un enrejado completo se llama álgebra de Heyting completa. Esta noción coincide con los conceptos marco y lugar .
- Celosía completa . Una celosía completaes un conjunto en el que existen combinaciones arbitrarias (posiblemente infinitas) (suprema) y reuniones (infima).
- Orden parcial completa . Un pedido parcial completo, o cpo , es un pedido parcial completo dirigido (qv) con el mínimo elemento.
- Relación completa . Sinónimo de relación conectada .
- Semicarejilla completa . La noción de semirred completa se define de diferentes formas. Como se explica en el artículo sobre completitud (teoría del orden) , cualquier poset para el que existan todos los supremos o todos los infima ya es un enrejado completo. Por lo tanto, la noción de una semirrejilla completa se utiliza a veces para coincidir con la de una red completa. En otros casos, las semirrejillas completas ( reunidas ) se definen como cpos completos acotados , que es posiblemente la clase más completa de posets que aún no son retículas completas.
- Celosía completamente distributiva . Una celosía completa es completamente distributiva si las uniones arbitrarias se distribuyen sobre las reuniones arbitrarias.
- Terminación . La finalización de un poset es una incrustación de orden del poset en una celosía completa.
- Poset continuo . Un conjunto es continuo si tiene una base , es decir, un subconjunto B de P tal que cada elemento x de P es el supremo de un conjunto dirigido contenido en { y en B | y << x }.
- Función continua . Ver Scott-continuo .
- Converse . El inverso <° de un orden
- Cubrir . Se dice que un elemento y de un poset P cubre un elemento x de P (y se llama cobertura de x ) si x < y y no hay ningún elemento z de P tal que x < z < y .
- cpo . Ver pedido parcial completo .
D
- dcpo . Ver pedido parcial completo dirigido .
- Una densa poset P es uno en el que, para todos los elementos x y Y en P con x < y , hay un elemento z en P , de manera que x < z < y . Un subconjunto Q de P es denso en P si para cualquier elemento x < y en P , hay un elemento z en Q tal que x < z < y .
- Dirigido . A no vacío subconjunto X de un poset P se llama dirigida, si, para todos los elementos x y y de X , hay un elemento z de X tal que x ≤ z y y ≤ z . La noción dual se llama filtrada .
- Pedido parcial completo dirigido . Sedice queun poset D es un poset completo dirigido, o dcpo , si cada subconjunto dirigido de D tiene un supremum.
- Distributivo . Un retículo L se llama distributivo si, para todo x , y y z en L , encontramos que x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ). Se sabe que esta condición es equivalente a su orden dual. Un semirretículo encuentro es distributivo si para todos los elementos a , b y x , a ∧ b ≤ x implica la existencia de elementos a ' ≥ a y b' ≥ b tales que a ' ∧ b' = x . Véase también completamente distributivo .
- Dominio . Dominio es un término general para objetos como los que se estudian en la teoría de dominios . Si se usa, requiere una mayor definición.
- Abajo . Ver conjunto inferior .
- Dual . Para un poset ( P , ≤), el orden dual P d = ( P , ≥) se define estableciendo x ≥ y si y solo si y ≤ x . El orden dual de P a veces se denota por P op , y también se denominaorden opuesto o inverso . Cualquier noción de la teoría del orden induce una noción dual, definida aplicando el enunciado original al dual de orden de un conjunto dado. Este intercambia ≤ y ≥, encuentra y une, cero y unidad.
mi
- Extensión . Para los pedidos parciales ≤ y ≤ 'en un conjunto X , ≤' es una extensión de ≤ condición de que para todos los elementos x y y de X , x ≤ y implica que x ≤ ' y .
F
- Filtrar . Un subconjunto X de un poset P se llama filtro si es un conjunto superior filtrado. La noción dual se llama ideal .
- Filtrado . A no vacío subconjunto X de un poset P se llama filtra, si, para todos los elementos x y y de X , hay un elemento z de X tal que z ≤ x y z ≤ y . La noción dual se llama dirigida .
- Elemento finito . Ver compacto .
- Marco . Un marco F es una red completa, en la que, para cada x en F y cada subconjunto Y de F , la ley distributiva infinita x ∧Y ={ x ∧ y | y en Y } se mantiene. Los marcos también se conocen como locales y álgebras de Heyting completas .
GRAMO
- Conexión de Galois . Dados dos conjuntos P y Q , un par de funciones monótonas F : P → Q y G : Q → P se llama conexión de Galois, si F ( x ) ≤ y es equivalente ax ≤ G ( y ), para todo x en P y y en Q . F se llama el adjunto inferior de G y G se llama el adjunto superior de F .
- El elemento más grande . Para un subconjunto X de un poset P , un elemento de una de X se llama el mayor elemento de X , si x ≤ una para cada elemento x en X . La noción dual se llama elemento mínimo .
- Puesta a tierra . El conjunto básico de un poset ( X , ≤) es el conjunto X en el que se define el orden parcial ≤.
H
- Heyting álgebra . A Heyting algebra H es un enrejado limitado en el que la función f una : H → H , dada por f una ( x ) = a ∧ x es el adjunto inferior de una conexión de Galois , por cada elemento de una de H . El adjunto superior de f a se denota entonces por g a , con g a ( x ) = a ⇒; x . Cada álgebra booleana es un álgebra de Heyting.
- Diagrama de Hasse . Un diagrama de Hasse es un tipo de diagrama matemático utilizado para representar un conjunto finito parcialmente ordenado, en forma de dibujo de su reducción transitiva .
I
- Un ideal es un subconjunto X de un poset P que es un conjunto inferior dirigido. La noción dual se llama filtro .
- El álgebra de incidencia de un poset es el álgebra asociativa de todas las funciones con valores escalares en intervalos, con la suma y la multiplicación escalar definidas puntualmente, y la multiplicación definida como una determinada convolución; ver álgebra de incidencia para más detalles.
- Infimum . Para un poset P y un subconjunto X de P , el elemento más grande en el conjunto de límites inferiores de X (si es que existe, lo que puede que no) se llama la infimum , se reúnen , o extremo inferior de X . Se denota por inf X oX . El mínimo de dos elementos puede escribirse como inf { x , y } ox ∧ y . Si el conjunto X es finito, se habla de un infimum finito . La noción dual se llama supremum .
- Intervalo . Para dos elementos a , b de un conjunto P parcialmente ordenado, el intervalo [ a , b ] es el subconjunto { x en P | un ≤ x ≤ b } de P . Si a ≤ b no se mantiene, el intervalo estará vacío.
- Poset finito de intervalo . Un conjunto P parcialmente ordenado es un intervalo finito si cada intervalo de la forma {x en P | x ≤ a} es un conjunto finito. [2]
- Inversa . Ver conversar .
- Irreflexivo . Una relación R en un conjunto X es irreflexiva, si no hay un elemento x en X tal que x R x .
- Isotono . Ver monótono .
J
- Únete . Ver supremum .
L
- Celosía . Una celosía es un conjunto en el que existen todas las uniones finitas no vacías (suprema) y las reuniones (infima).
- Elemento menor . Para un subconjunto X de un poset P , un elemento de una de X se llama el menos elemento de X , si un ≤ x para cada elemento x en X . La noción dual se llama elemento mayor .
- La longitud de una cadena es el número de elementos menos uno. Una cadena con 1 elemento tiene longitud 0, una con 2 elementos tiene longitud 1, etc.
- Lineal . Ver pedido total .
- Extensión lineal . Una extensión lineal de un orden parcial es una extensión que es un orden lineal u orden total.
- Locale . Un lugar es un álgebra de Heyting completa . Las configuraciones regionales también se denominan marcos y aparecen en la dualidad de Stone y la topología sin sentido .
- Poset localmente finito . Un conjunto P parcialmente ordenadoes localmente finito si cada intervalo [ a , b ] = { x en P | a ≤ x ≤ b } es un conjunto finito.
- Límite inferior . Un límite inferior de un subconjunto X de un poset P es un elemento b de P , de tal manera que b ≤ x , para todos los x en X . La noción dual se llama límite superior .
- Conjunto inferior . Un subconjunto X de un poset P se llama un conjunto más bajo si, para todos los elementos x en X y p en P , p ≤ x implica que p está contenido en X . La noción dual se llama conjunto superior .
METRO
- Cadena máxima . Una cadena en un poset al que no se le puede añadir ningún elemento sin perder la propiedad de estar totalmente ordenado. Esto es más fuerte que ser una cadena saturada, ya que también excluye la existencia de elementos menores que todos los elementos de la cadena o mayores que todos sus elementos. Una cadena saturada finita es máxima si y solo si contiene un elemento tanto mínimo como máximo del poset.
- Elemento máximo . Un elemento maximal de un subconjunto X de un poset P es un elemento m de X , de manera que m ≤ x implica m = x , para todos los x en X . La noción dual se llama elemento mínimo .
- Elemento máximo . Sinónimo de mayor elemento. Para un subconjunto X de un poset P , un elemento de una de X se llama el elemento de máxima de X si x ≤ una para cada elemento x en X . Una máxima um elemento es necesariamente Maxim otros , pero la necesidad recíproca no se sostiene.
- Conoce . Ver infimum .
- Elemento mínimo . Un elemento mínimo de un subconjunto X de un poset P es un elemento m de X , de manera que x ≤ m implica m = x , para todos los x en X . La noción dual se llama elemento máximo .
- Elemento mínimo . Sinónimo de mínimo elemento. Para un subconjunto X de un poset P , un elemento de una de X se llama el elemento mínimo de X si x ≥ una para cada elemento x en X . Un minim um elemento es necesariamente minim otros , pero la necesidad recíproca no se sostiene.
- Monótono . Una función f entre posets P y Q es monótona si, para todos los elementos x , y de P , x ≤ y (en P ) implica f ( x ) ≤ f ( y ) (en Q ). Otros nombres de esta propiedad son isótono y de preservación del orden . En el análisis , en presencia de órdenes totales , estas funciones a menudo se denominan crecientes monótonamente , pero esta no es una descripción muy conveniente cuando se trata de órdenes no totales. La noción dual se llama antitono o inversión de orden .
O
- Orden-dual . El orden dual de un conjunto parcialmente ordenado es el mismo conjunto con la relación de orden parcial reemplazada por su inverso.
- Incrustación de pedidos . Una función f entre posets P y Q es una inserción de orden si, para todos los elementos x , y de P , x ≤ y (en P ) es equivalente af ( x ) ≤ f ( y ) (en Q ).
- Isomorfismo de orden . Un mapeo f : P → Q entre dos posets P y Q se denomina isomorfismo de orden, si es biyectivo y tanto f como f −1 son monótonos . De manera equivalente, un isomorfismo de orden es una incrustación de orden sobreyectiva.
- Conservación del orden . Ver monótono .
- Inversión de pedidos . Ver antitono .
PAG
- Orden parcial . Un orden parcial es una relación binaria que es reflexiva , antisimétrica y transitiva . En un ligero abuso de terminología, el término también se utiliza a veces para referirse no a dicha relación, sino a su correspondiente conjunto parcialmente ordenado.
- Conjunto parcialmente ordenado . Un conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤), o poset para abreviar, es un conjunto P junto con un orden parcial ≤ en P .
- Poset . Un conjunto parcialmente ordenado.
- Reserva . Un preorden es una relación binaria que es reflexiva y transitiva . Estos pedidos también pueden denominarse cuasiorders . El término preorden también se usa para denotar una relación binaria acíclica (también llamada dígrafo acíclico ).
- Conservando . Sedice queuna función f entre posets P y Q preserva suprema (uniones), si, para todos los subconjuntos X de P que tienen un supremum sup X en P , encontramos que sup { f ( x ): x en X } existe y es igual af (sup X ). Esta función también se denomina conservación de combinación . De manera análoga, se dice que f conserva uniones (o encuentros) finitos, no vacíos, dirigidos o arbitrarios. La propiedad inversa se llama unión-reflectante .
- Prime . Un ideales I en una red L se dice que es primo, si, para todos los elementos x y y en L , x ∧ y en I implica x en I o y en I . La noción dual se llama filtro principal . De manera equivalente, un conjunto es un filtro principal si y solo si su complemento es un ideal principal.
- Director . Un filtro se llama filtro principal si tiene un elemento mínimo. Doblemente, un ideal principal es un ideal con un elemento más grande. Los elementos menores o mayores también pueden denominarse elementos principales en estas situaciones.
- Proyección (operador) . Un automapa en un conjunto parcialmente ordenado que es monótono e idempotente bajo la composición de funciones . Las proyecciones juegan un papel importante en la teoría de dominios .
- Pseudo-complemento . En un álgebra de Heyting , el elemento x ⇒; 0 se llama pseudocomplemento de x . También está dado por sup { y : y ∧ x = 0}, es decir, como el límite superior mínimo de todos los elementos y con y ∧ x = 0.
Q
- Quasiorder . Ver pedido anticipado .
- Cuasitransitivo . Una relación es cuasitransitiva si la relación sobre elementos distintos es transitiva. Transitivo implica cuasitransitivo y cuasitransitivo implica acíclico. [1]
R
- Reflexionando . Sedice queuna función f entre posets P y Q refleja suprema (uniones), si, para todos los subconjuntos X de P para los cualesexisteel supremum sup { f ( x ): x en X } y tiene la forma f ( s ) para algunos s en P , entonces encontramos que sup X existe y que sup X = s . De manera análoga, se dice que f refleja uniones (o encuentros) finitos, no vacíos, dirigidos o arbitrarios. La propiedad inversa se denomina conservación de combinación .
- Reflexivo . Una relación binaria R en un conjunto X es reflexiva, si x R x se mantiene para cada elemento x en X .
- Residual . Un mapa dual adjunto a un mapeo residual .
- Mapeo residual . Un mapa monótono para el que la preimagen de un down-set principal vuelve a ser principal. De manera equivalente, un componente de una conexión de Galois.
S
- Cadena saturada . Una cadena tal que no se pueda añadir ningún elemento entre dos de sus elementos sin perder la propiedad de estar totalmente ordenado. Si la cadena es finita, esto significa que en cada par de elementos sucesivos, el mayor cubre al menor. Véase también cadena máxima.
- Dispersos . Un pedido total se dispersa si no tiene un subconjunto densamente ordenado.
- Scott-continuo . Una función monótona f : P → Q entre posets P y Q es Scott-continua si, para cada conjunto dirigido D que tiene un supremum sup D en P , el conjunto { fx | x en D } tiene el supremo f (sup D ) en Q . Dicho de otra manera, una función continua de Scott es aquella que conserva todo suprema dirigido. De hecho, esto es equivalente a ser continuo con respecto a la topología de Scott en los respectivos posets.
- Dominio de Scott . Un dominio de Scott es un conjunto parcialmente ordenado que es un cpo algebraico completo acotado .
- Scott abierto . Consulte la topología de Scott .
- Topología de Scott . Para un poset P , un subconjunto O es Scott-abierto si se trata de un conjunto superior y todos los conjuntos dirigidos D que tienen un extremo superior en O Tienes intersección no vacía con O . El conjunto de todos los conjuntos abiertos de Scott forma una topología , la topología de Scott .
- Semirretículo . Una semirrejilla es un conjunto en el que existen todas las uniones finitas no vacías (suprema) o todas las reuniones finitas no vacías (infima). En consecuencia, se habla de un semirretículo de unión o de semirreticulado de encuentro .
- Elemento más pequeño . Ver elemento mínimo .
- Propiedad de Sperner de un conjunto parcialmente ordenado
- Sperner poset
- Estrictamente Sperner poset
- Fuertemente Sperner poset
- Orden estricto . Un orden estricto es una relación binaria que es antisimétrica , transitiva e irreflexiva .
- Supremum . Para un poset P y un subconjunto X de P , el menos elemento en el conjunto de límites superiores de X (si es que existe, lo que puede que no) se denomina el extremo superior , se unen a , o extremo superior de X . Se denota por sup X oX . El supremo de dos elementos puede escribirse como sup { x , y } ox ∨ y . Si el conjunto X es finito, se habla de un supremo finito . La noción dual se llama infimum .
- Consistencia de Suzumura . Una relación binaria R es Suzumura consistente si x R ∗ y implica que x R y o no y R x . [1]
- Simétrico . Una relación R en un conjunto X es simétrica, si x Ry implica y R x , para todos los elementos x , y en X .
T
- Top . Ver unidad .
- Orden total . Un orden total T es un orden parcial en la que, para cada x y y en T , tenemos x ≤ y o y ≤ x . Los pedidos totales también se denominan pedidos lineales o cadenas .
- Relación total . Un total o completa relación R en un conjunto X tiene la propiedad de que para todos los elementos x , y de X , al menos uno de x R y o y R x bodegas.
- Transitivo . Una relación R en un conjunto X es transitivo, si x R y y y R z implican x R z , para todos los elementos x , y , z en X .
- Cierre transitivo . El cierre transitivo R ∗ de una relación R consta de todos los pares x , y para los que existe una cadena finita x R a , a R b , ..., z R y . [1]
U
- Unidad . El elemento más grande de un poset P puede llamarse unidad o simplemente 1 (si existe). Otro término común para este elemento es top . Es el ínfimo del conjunto vacío y el supremo de P . La noción dual se llama cero .
- Up-set . Ver conjunto superior .
- Límite superior . Un límite superior de un subconjunto X de un poset P es un elemento b de P , de tal manera que x ≤ b , para todos los x en X . La noción dual se llama límite inferior .
- Conjunto superior . Un subconjunto X de un poset P se llama un conjunto superior si, para todos los elementos x en X y p en P , x ≤ p implica que p está contenido en X . La noción dual se llama conjunto inferior .
V
- Valoración . Dada una celosía, una valoración es estricto (es decir, ), monótono, modular (es decir, ) y positivo. Las valoraciones continuas son una generalización de medidas.
W
- Relación muy por debajo . En un poset P , algún elemento x es muy por debajo y , por escrito x << y , si por todos los subconjuntos dirigidas D de P que tienen un extremo superior, y ≤ sup D implica x ≤ d para algunos d en D . También se dice que x se aproxima a y . Ver también teoría de dominios .
- Orden débil . Un orden parcial ≤ en un conjunto X es un orden débil siempre que el poset (X, ≤) sea isomorfo a una colección contable de conjuntos ordenados por comparación de cardinalidad .
Z
- Cero . El elemento mínimo de un poset P puede llamarse cero o simplemente 0 (si existe). Otro término común para este elemento es fondo . Zero es el supremo del conjunto vacío y el ínfimo de P . La noción dual se llama unidad .
Notas
- ^ a b c d Bossert, Walter; Suzumura, Kōtarō (2010). Coherencia, elección y racionalidad . Prensa de la Universidad de Harvard. ISBN 0674052994.
- ^ Deng , 2008 , p. 22
Referencias
Las definiciones que se dan aquí son consistentes con las que se pueden encontrar en los siguientes libros de referencia estándar:
- BA Davey y HA Priestley, Introducción a las celosías y el orden , segunda edición, Cambridge University Press, 2002.
- G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove y DS Scott, Continuous Lattices and Domains , En Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones , vol. 93, Cambridge University Press, 2003.
Definiciones específicas:
- Deng, Bangming (2008), Álgebras de dimensión finita y grupos cuánticos , Estudios y monografías matemáticas, 150 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4186-0