Conjunto ordinal definible

En la teoría matemática de conjuntos , se dice que un conjunto S es ordinal definible si, informalmente, puede definirse en términos de un número finito de ordinales mediante una fórmula de primer orden . Los conjuntos definibles ordinales fueron introducidos por Gödel (1965) .

Un inconveniente de esta definición informal es que requiere la cuantificación de todas las fórmulas de primer orden, que no se pueden formalizar en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Sin embargo, hay una forma diferente de enunciar la definición que puede formalizarse de esta manera. En este enfoque, un conjunto S se define formalmente como ordinal definible si existe alguna colección de ordinales α ₁ , ..., α _n tal que y puede definirse como un elemento de mediante una fórmula de primer orden φ tomando α ₂ , ..., α _n como parámetros. Aquí denota el conjunto indexado por el ordinal α ₁ en la jerarquía de von Neumann . En otras palabras, $S\in V_{\alpha _{1}}$ ${\ estilo de visualización S}$ $V_{\alpha _{1}}$ $V_{{\alfa}_{1}}$ S es el único objeto tal que φ( S , α ₂ ...α _n ) se cumple con sus cuantificadores que van sobre . $V_{\alpha _{1}}$

La clase de todos los conjuntos ordinales definibles se denota como OD; no es necesariamente transitivo , y no necesita ser un modelo de ZFC porque podría no satisfacer el axioma de extensionalidad . Un conjunto es definible ordinal hereditariamente si es definible ordinal y todos los elementos de su clausura transitiva son definibles ordinales. La clase de conjuntos definibles hereditariamente ordinales se denota por HOD y es un modelo transitivo de ZFC, con una buena ordenación definible. Es consistente con los axiomas de la teoría de conjuntos que todos los conjuntos son definibles ordinales y, por lo tanto, definibles ordinales hereditariamente. La afirmación de que esta situación se cumple se conoce como V = OD o V = HOD. Se sigue de V = L, y equivale a la existencia de un buen ordenamiento (definible) del universo. Sin embargo, tenga en cuenta que la fórmula que expresa V = HOD no tiene por qué ser cierta dentro de HOD, ya que no es absoluta para los modelos de la teoría de conjuntos: dentro de HOD, la interpretación de la fórmula para HOD puede producir un modelo interno aún más pequeño.

Se ha encontrado que HOD es útil porque es un modelo interno que puede acomodar esencialmente a todos los cardenales grandes conocidos . Esto contrasta con la situación de los modelos centrales , ya que aún no se han construido modelos centrales que puedan acomodar cardenales supercompactos , por ejemplo.