Axioma de constructibilidad
El axioma de constructibilidad es un axioma posible para la teoría de conjuntos en matemáticas que afirma que todo conjunto es construible . El axioma generalmente se escribe como V = L , donde V y L denotan el universo de von Neumann y el universo construible , respectivamente. El axioma, investigado por primera vez por Kurt Gödel , es inconsistente con la proposición de que existe cero agudo y axiomas cardinales grandes más fuertes (ver lista de propiedades cardinales grandes). Las generalizaciones de este axioma se exploran en la teoría del modelo interno .
El axioma de constructibilidad implica el axioma de elección (AC), dada la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (ZF). También resuelve muchas cuestiones matemáticas naturales que son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC); por ejemplo, el axioma de constructibilidad implica la hipótesis del continuo generalizado , la negación de la hipótesis de Suslin y la existencia de un conjunto analítico (de hecho, ) no medible de números reales , todos los cuales son independientes de ZFC.
El axioma de constructibilidad implica la inexistencia de aquellos grandes cardenales con fuerza de consistencia mayor o igual a 0 # , que incluye algunos cardenales grandes "relativamente pequeños". Por ejemplo, no cardinal puede ser ω 1 - Erdős en L . Si bien L contiene los ordinales iniciales de esos grandes cardinales (cuando existen en un supermodelo de L ), y todavía son ordinales iniciales en L , excluye las estructuras auxiliares (por ejemplo, medidas ) que dotan a esos cardinales de sus grandes propiedades cardinales.
Aunque el axioma de la constructibilidad resuelve muchas cuestiones de la teoría de conjuntos, no suele aceptarse como axioma de la teoría de conjuntos de la misma forma que los axiomas de ZFC. Entre los teóricos establecidos de tendencia realista , que creen que el axioma de la constructibilidad es verdadero o falso, la mayoría cree que es falso. Esto se debe en parte a que parece innecesariamente "restrictivo", ya que solo permite ciertos subconjuntos de un conjunto dado (por ejemplo, no puede existir), sin una razón clara para creer que estos son todos. En parte se debe a que el axioma se contradice con axiomas cardinales grandes y suficientemente fuertes . Este punto de vista está especialmente asociado con el Cabal , o la "escuela de California", como lo diría Saharon Shelah .
Especialmente desde la década de 1950 hasta la de 1970, se han realizado algunas investigaciones para formular un análogo del axioma de constructibilidad para subsistemas de aritmética de segundo orden . Algunos resultados se destacan en el estudio de tales análogos:
El significado principal del axioma de constructibilidad está en la prueba de Kurt Gödel de la consistencia relativa del axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizado a la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel . (La prueba se traslada a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , que se ha vuelto más frecuente en los últimos años).