En matemáticas, una orientación de un paquete vectorial real es una generalización de una orientación de un espacio vectorial ; así, dado un paquete vectorial real π: E → B , una orientación de E significa: para cada fibra E x , hay una orientación del espacio vectorial E x y se exige que cada mapa de trivialización (que es un mapa de paquetes)
conserva la orientación de las fibras, donde R n es la orientación estándar . En términos más concisos, esto dice que el grupo de estructura del paquete de marcos de E , que es el grupo lineal general real GL n ( R ), puede reducirse al subgrupo que consta de aquellos con determinante positivo.
Si E es un paquete vectorial real de rango n , entonces la elección de la métrica en E equivale a una reducción del grupo de estructuras al grupo ortogonal O ( n ). En esa situación, una orientación de E equivale a una reducción de O ( n ) al grupo ortogonal especial SO ( n ).
Un fibrado vectorial junto con una orientación se denomina fibrado orientado . Un paquete vectorial al que se le puede dar una orientación se llama paquete vectorial orientable .
El invariante básico de un paquete orientado es la clase de Euler . La multiplicación (es decir, el producto de taza) por la clase de Euler de un paquete orientado da lugar a una secuencia de Gysin .
La noción de orientación de un paquete vectorial generaliza una orientación de una variedad diferenciable : una orientación de una variedad diferenciable es una orientación de su paquete tangente. En particular, una variedad diferenciable es orientable si y solo si su paquete tangente es orientable como un paquete vectorial. (nota: como variedad, un fibrado tangente siempre es orientable).