En matemáticas, el proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un proceso estocástico con aplicaciones en matemáticas financieras y ciencias físicas. Su aplicación original en física fue como modelo para la velocidad de una partícula browniana masiva bajo la influencia de la fricción. Lleva el nombre de Leonard Ornstein y George Eugene Uhlenbeck .
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un proceso estacionario de Gauss-Markov , lo que significa que es un proceso de Gauss , un proceso de Markov y es temporalmente homogéneo. De hecho, es el único proceso no trivial que satisface estas tres condiciones, hasta permitir transformaciones lineales de las variables de espacio y tiempo. [1] Con el tiempo, el proceso tiende a derivar hacia su función media: este proceso se denomina reversión a la media .
El proceso se puede considerar como una modificación del paseo aleatorio en tiempo continuo , o proceso de Wiener , en el que se han cambiado las propiedades del proceso de manera que hay una tendencia del paseo a retroceder hacia una ubicación central, con un mayor atracción cuando el proceso está más alejado del centro. El proceso de Ornstein-Uhlenbeck también se puede considerar como el análogo en tiempo continuo del proceso AR (1) en tiempo discreto .
Definición
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck se define mediante la siguiente ecuación diferencial estocástica :
dónde y son parámetros y denota el proceso de Wiener . [2] [3] [4]
A veces se agrega un término de deriva adicional:
dónde es una constante. En matemáticas financieras, esto también se conoce como modelo de Vasicek . [5]
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck a veces también se escribe como una ecuación de Langevin de la forma
dónde , también conocido como ruido blanco , representa la supuesta derivadadel proceso Wiener. [6] Sin embargo,no existe porque el proceso de Wiener no es diferenciable en ninguna parte, por lo que la ecuación de Langevin es, estrictamente hablando, solo heurística. [7] En las disciplinas de física e ingeniería, es una representación común del proceso de Ornstein-Uhlenbeck y ecuaciones diferenciales estocásticas similares asumiendo tácitamente que el término de ruido es un derivado de una interpolación diferenciable (por ejemplo, de Fourier) del proceso de Wiener.
Representación de la ecuación de Fokker-Planck
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck también se puede describir en términos de una función de densidad de probabilidad, , que especifica la probabilidad de encontrar el proceso en el estado en el momento . [8] Esta función satisface la ecuación de Fokker-Planck
dónde . Ésta es una ecuación diferencial parcial parabólica lineal que puede resolverse mediante una variedad de técnicas. La probabilidad de transición es un gaussiano con media y varianza :
Esto da la probabilidad del estado ocurriendo en el momento dado el estado inicial en el momento . Equivalentemente, es la solución de la ecuación de Fokker-Planck con condición inicial .
Propiedades matematicas
Asumiendo es constante, la media es
y la covarianza es
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un ejemplo de un proceso gaussiano que tiene una varianza limitada y admite una distribución de probabilidad estacionaria , en contraste con el proceso de Wiener ; la diferencia entre los dos está en su término "deriva". Para el proceso de Wiener, el término de deriva es constante, mientras que para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck depende del valor actual del proceso: si el valor actual del proceso es menor que la media (a largo plazo), la deriva será positivo; si el valor actual del proceso es mayor que la media (a largo plazo), la deriva será negativa. En otras palabras, la media actúa como un nivel de equilibrio para el proceso. Esto le da al proceso su nombre informativo, "reversión a la media".
Propiedades de las rutas de muestra
Un proceso de Ornstein-Uhlenbeck temporalmente homogéneo se puede representar como un proceso de Wiener escalado y transformado en el tiempo :
dónde es el proceso estándar de Wiener. Esto es aproximadamente el teorema de 1.2 pulg. [1] De manera equivalente, con el cambio de variable esto se convierte en
Usando este mapeo, uno puede traducir propiedades conocidas de en declaraciones correspondientes para . Por ejemplo, la ley del logaritmo iterado parase convierte en [1]
Solución formal
La ecuación diferencial estocástica para se puede resolver formalmente mediante la variación de parámetros . [9] Escritura
obtenemos
Integrando desde a obtenemos
con lo cual vemos
A partir de esta representación, se muestra que el primer momento (es decir, la media) es
asumiendo es constante. Además, la isometría Itō se puede utilizar para calcular la función de covarianza mediante
Dado que la integral Itô del integrando determinista se distribuye normalmente, tenemos fácilmente
Muestreo numérico
Mediante el uso de datos muestreados discretamente en intervalos de tiempo de ancho , los estimadores de máxima verosimilitud para los parámetros del proceso de Ornstein-Uhlenbeck son asintóticamente normales a sus valores verdaderos. [10] Más precisamente, [ verificación fallida ]
Interpretación del límite de escala
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck se puede interpretar como un límite de escala de un proceso discreto, de la misma manera que el movimiento browniano es un límite de escala de paseos aleatorios . Considere una urna que contienebolas azules y amarillas. En cada paso se elige una bola al azar y se reemplaza por una bola del color opuesto. Dejar sea el número de bolas azules en la urna después pasos. Luego converge en derecho a un proceso de Ornstein-Uhlenbeck como tiende al infinito.
Aplicaciones
En ciencias fisicas
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un prototipo de un proceso de relajación ruidoso . Considere, por ejemplo, un resorte Hookean con constante de resortecuya dinámica está altamente sobreamortiguada con coeficiente de fricción. En presencia de fluctuaciones térmicas con la temperatura. , la longitud del resorte fluctuará estocásticamente alrededor de la longitud del descanso del resorte ; su dinámica estocástica se describe mediante un proceso de Ornstein-Uhlenbeck con:
dónde se deriva de la ecuación de Stokes-Einstein para la constante de difusión efectiva.
En ciencias físicas, la ecuación diferencial estocástica de un proceso de Ornstein-Uhlenbeck se reescribe como una ecuación de Langevin
dónde es ruido gaussiano blanco con Las fluctuaciones se correlacionan como
con tiempo de correlación .
En equilibrio, el resorte almacena una energía promedio de acuerdo con el teorema de equipartición .
En matemáticas financieras
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es uno de los varios enfoques utilizados para modelar (con modificaciones) las tasas de interés, las tasas de cambio de divisas y los precios de las materias primas de manera estocástica. El parámetrorepresenta el equilibrio o valor medio apoyado por fundamentos ;el grado de volatilidad a su alrededor causado por los choques , yla tasa a la que estos choques se disipan y la variable se revierte hacia la media. Una aplicación del proceso es una estrategia comercial conocida como comercio de pares . [11] [12] [13]
En biología evolutiva
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck se ha propuesto como una mejora sobre un modelo de movimiento browniano para modelar el cambio en los fenotipos de los organismos a lo largo del tiempo. [14] Un modelo de movimiento browniano implica que el fenotipo puede moverse sin límite, mientras que para la mayoría de los fenotipos la selección natural impone un costo por moverse demasiado en cualquier dirección. Un metanálisis de 250 series de tiempo de fenotipo fósil mostró que un modelo de Ornstein-Uhlenbeck era el mejor ajuste para 115 (46%) de las series de tiempo examinadas, lo que apoya la estasis como un patrón evolutivo común. [15]
Generalizaciones
Es posible extender los procesos de Ornstein-Uhlenbeck a procesos donde el proceso de conducción de fondo es un proceso de Lévy (en lugar de un simple movimiento browniano). [ aclaración necesaria ]
Además, en finanzas, se utilizan procesos estocásticos donde la volatilidad aumenta para valores mayores de . En particular, el proceso CKLS (Chan – Karolyi – Longstaff – Sanders) [16] con el término de volatilidad reemplazado por se puede resolver en forma cerrada para , así como para , que corresponde al proceso OU convencional. Otro caso especial es, que corresponde al modelo Cox-Ingersoll-Ross ( modelo CIR).
Mayores dimensiones
Una versión multidimensional del proceso de Ornstein-Uhlenbeck, denotado por el vector N -dimensional, se puede definir a partir de
dónde es un proceso Wiener N -dimensional, y y son matrices constantes de N × N. [17] La solución es
y la media es
Tenga en cuenta que estas expresiones utilizan la matriz exponencial .
El proceso también se puede describir en términos de la función de densidad de probabilidad , que satisface la ecuación de Fokker-Planck [18]
donde la matriz con componentes es definido por . En cuanto al caso 1d, el proceso es una transformación lineal de variables aleatorias gaussianas y, por lo tanto, él mismo debe ser gaussiano. Debido a esto, la probabilidad de transiciónes un gaussiano que se puede escribir explícitamente. Si las partes reales de los valores propios de son mayores que cero, una solución estacionaria además existe, dado por
donde la matriz se determina a partir de la ecuación de Lyapunov . [19]
Ver también
- Cálculo estocástico
- Proceso de salchicha
- Proceso gaussiano
- Finanzas matemáticas
- El modelo de tipos de interés de Vasicek
- Modelo de tasa corta
- Difusión
- Teorema de fluctuación-disipación
Notas
- ↑ a b c Doob, JL (abril de 1942). "El movimiento browniano y ecuaciones estocásticas". Annals of Mathematics . 43 (2): 351–369. doi : 10.2307 / 1968873 . JSTOR 1968873 .
- ^ Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1991), Movimiento browniano y cálculo estocástico (2ª ed.), Springer-Verlag, p. 358, ISBN 978-0-387-97655-6
- ^ Gard, Thomas C. (1988), Introducción a las ecuaciones diferenciales estocásticas , Marcel Dekker, p. 115, ISBN 978-0-8247-7776-0
- ^ Gardiner, CW (1985), Manual de métodos estocásticos (2ª ed.), Springer-Verlag, p. 106, ISBN 978-0-387-15607-1
- ^ Björk, Tomas (2009). Teoría del arbitraje en tiempo continuo (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 375, 381. ISBN 978-0-19-957474-2.
- ^ Arriesgado (1984)
- ^ Lawler, Gregory F. (2006). Introducción a los procesos estocásticos (2ª ed.). Chapman y Hall / CRC. ISBN 978-1584886518.
- ^ Risken, H. (1984), La ecuación de Fokker-Planck: métodos de solución y aplicación , Springer-Verlag, págs. 99-100, ISBN 978-0-387-13098-9
- ^ Gardiner (1985) p. 106
- ^ Aït-Sahalia, Y. (abril de 2002). "Estimación de máxima verosimilitud de la difusión muestreada discretamente: un enfoque de aproximación de forma cerrada". Econometrica . 70 (1): 223–262. doi : 10.1111 / 1468-0262.00274 .
- ^ Comercio óptimo de reversión a la media: análisis matemático y aplicaciones prácticas . World Scientific Publishing Co. 2016. ISBN 978-9814725910.
- ^ Ventajas del comercio de pares: neutralidad del mercado
- ^ Un marco de Ornstein-Uhlenbeck para el comercio de pares
- ^ Martins, EP (1994). "Estimación de la tasa de evolución fenotípica a partir de datos comparativos". Amer. Nat . 144 (2): 193-209. doi : 10.1086 / 285670 .
- ^ Hunt, Gene (20 de noviembre de 2007). "La importancia relativa del cambio de dirección, paseos aleatorios y estasis en la evolución de los linajes fósiles" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 104 (47): 18404–18408. doi : 10.1073 / pnas.0704088104 . ISSN 0027-8424 . PMC 2141789 . PMID 18003931 .
- ^ Chan y col. (1992)
- ^ Gardiner (1985), p. 109
- ^ Gardiner (1985), p. 97
- ^ Arriesgado (1984), p. 156
Referencias
- Bibbona, E .; Panfilo, G .; Tavella, P. (2008). "El proceso de Ornstein-Uhlenbeck como modelo de un ruido blanco filtrado de paso bajo". Metrologia . 45 (6): S117 – S126. Código Bib : 2008Metro..45S.117B . doi : 10.1088 / 0026-1394 / 45/6 / S17 .
- Chan, KC; Karolyi, GA; Longstaff, FA; Sanders, AB (1992). "Una comparación empírica de modelos alternativos de la tasa de interés de corto plazo" . Revista de Finanzas . 47 (3): 1209-1227. doi : 10.1111 / j.1540-6261.1992.tb04011.x .
- Doob, JL (abril de 1942). "El movimiento browniano y ecuaciones estocásticas". Annals of Mathematics . 43 (2): 351–369. doi : 10.2307 / 1968873 . JSTOR 1968873 .
- Gillespie, DT (1996). "Simulación numérica exacta del proceso de Ornstein-Uhlenbeck y su integral" . Phys. Rev. E . 54 (2): 2084-2091. Código bibliográfico : 1996PhRvE..54.2084G . doi : 10.1103 / PhysRevE.54.2084 . PMID 9965289 .
- Leung, Tim; Li, Xin (2015). "Comercio de reversión a la media óptima con costos de transacción y salida de Stop Loss". Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas . 18 (3): 1550020. arXiv : 1411.5062 . doi : 10.1142 / S021902491550020X .
- Risken, H. (1989). La ecuación de Fokker-Planck: método de solución y aplicaciones . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387504988.
- Uhlenbeck, GE; Ornstein, LS (1930). "Sobre la teoría del movimiento browniano". Phys. Rev . 36 (5): 823–841. Código Bibliográfico : 1930PhRv ... 36..823U . doi : 10.1103 / PhysRev.36.823 .
- Martins, EP (1994). "Estimación de la tasa de evolución fenotípica a partir de datos comparativos". Amer. Nat . 144 (2): 193-209. doi : 10.1086 / 285670 .
enlaces externos
- Un kit de herramientas de procesos estocásticos para la gestión de riesgos , Damiano Brigo, Antonio Dalessandro, Matthias Neugebauer y Fares Triki
- Simulación y calibración del proceso de Ornstein-Uhlenbeck , MA van den Berg
- Estimación de máxima verosimilitud de los procesos de reversión media , José Carlos García Franco
- "Aplicación web interactiva: procesos estocásticos utilizados en finanzas cuantitativas" . Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2015 . Consultado el 3 de julio de 2015 .