En finanzas , el modelo de Vasicek es un modelo matemático que describe la evolución de las tasas de interés . Es un tipo de modelo de tasa corta de un factor , ya que describe los movimientos de las tasas de interés como impulsados por una sola fuente de riesgo de mercado . El modelo se puede utilizar en la valoración de derivados de tipos de interés y también se ha adaptado para los mercados de crédito. Fue introducido en 1977 por Oldřich Vašíček , [1] y también puede verse como un modelo de inversión estocástica .
Detalles
El modelo especifica que la tasa de interés instantánea sigue la ecuación diferencial estocástica :
donde W t es un proceso de Wiener bajo el marco de riesgo neutral que modela el factor de riesgo de mercado aleatorio, en el sentido de que modela la entrada continua de aleatoriedad en el sistema. El parámetro de desviación estándar ,, determina la volatilidad de la tasa de interés y de alguna manera caracteriza la amplitud de la afluencia instantánea de aleatoriedad. Los parámetros típicos y , junto con la condición inicial , caracterizan completamente la dinámica, y se pueden caracterizar rápidamente de la siguiente manera, asumiendo no ser negativo:
- : "nivel medio a largo plazo". Todas las trayectorias futuras de evolucionará alrededor de un nivel medio b a largo plazo;
- : "velocidad de reversión". caracteriza la velocidad a la que tales trayectorias se reagruparán alrededor a tiempo;
- : "volatilidad instantánea", mide instante a instante la amplitud de la aleatoriedad que ingresa al sistema. Más alto implica más aleatoriedad
La siguiente cantidad derivada también es de interés,
- : "varianza a largo plazo". Todas las trayectorias futuras de se reagrupará alrededor de la media a largo plazo con tal variación después de mucho tiempo.
y tienden a oponerse: aumentando aumenta la cantidad de aleatoriedad que ingresa al sistema, pero al mismo tiempo aumenta equivale a aumentar la velocidad a la que el sistema se estabilizará estadísticamente en torno a la media a largo plazo con un corredor de varianza determinado también por . Esto es claro cuando se mira la variación a largo plazo,
que aumenta con pero disminuye con .
Este modelo es un proceso estocástico de Ornstein-Uhlenbeck . Convertir el estocástico medio a largo plazo en otro SDE es una versión simplificada del SDE de cointelación. [2]
Discusión
El modelo de Vasicek fue el primero en capturar la reversión a la media , una característica esencial de la tasa de interés que la distingue de otros precios financieros. Por lo tanto, a diferencia de los precios de las acciones , por ejemplo, las tasas de interés no pueden aumentar indefinidamente. Esto se debe a que en niveles muy altos obstaculizarían la actividad económica, lo que provocaría una disminución de las tasas de interés. Del mismo modo, las tasas de interés no suelen descender por debajo de 0. Como resultado, las tasas de interés se mueven en un rango limitado, mostrando una tendencia a volver a un valor a largo plazo.
El factor de deriva representa el cambio instantáneo esperado en la tasa de interés en el tiempo t . El parámetro b representa el valor de equilibrio de largo plazo hacia el que se revierte la tasa de interés. De hecho, en ausencia de shocks (), la tasa de interés permanece constante cuando r t = b . El parámetro a , que rige la velocidad de ajuste, debe ser positivo para garantizar la estabilidad en torno al valor a largo plazo. Por ejemplo, cuando r t está por debajo de b , el término de derivase vuelve positivo para positivo a , generando una tendencia a que la tasa de interés se mueva hacia arriba (hacia el equilibrio).
La principal desventaja es que, bajo el modelo de Vasicek, es teóricamente posible que la tasa de interés se vuelva negativa, una característica indeseable bajo supuestos previos a la crisis. Esta deficiencia se solucionó en el modelo Cox-Ingersoll-Ross , el modelo exponencial Vasicek, el modelo Black-Derman-Toy y el modelo Black-Karasinski , entre muchos otros. El modelo Vasicek se amplió aún más en el modelo Hull-White . El modelo de Vasicek también es un ejemplo canónico del modelo de estructura de términos afines , junto con el modelo de Cox-Ingersoll-Ross .
Media y varianza asintótica
Resolvemos la ecuación diferencial estocástica para obtener
Usando técnicas similares a las aplicadas al proceso estocástico de Ornstein-Uhlenbeck , obtenemos que la variable de estado se distribuye normalmente con la media.
y varianza
En consecuencia, tenemos
y
Ver también
Referencias
- ^ Vasicek, O. (1977). "Una caracterización de equilibrio de la estructura de términos". Revista de Economía Financiera . 5 (2): 177–188. CiteSeerX 10.1.1.164.447 . doi : 10.1016 / 0304-405X (77) 90016-2 .
- ^ Mahdavi Damghani B. (2013). "El valor no engañoso de la correlación inferida: una introducción al modelo de cointelación". Revista Wilmott . 2013 (67): 50–61. doi : 10.1002 / wilm.10252 .Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- Hull, John C. (2003). Opciones, futuros y otros derivados . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . ISBN 978-0-13-009056-0.
- Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). Modelos de tasas de interés: teoría y práctica con sonrisa, inflación y crédito (2ª ed. 2006 ed.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
- Jessica James, Nick Webber (2000). Modelización de tipos de interés . Wiley. ISBN 978-0-471-97523-6.
enlaces externos
- El modelo Vasicek , Bjørn Eraker, Escuela de Negocios de Wisconsin
- Estimación y predicción de la curva de rendimiento con el modelo de Vasicek , D. Bayazit, Middle East Technical University