En geometría , los puntos de Brocard son puntos especiales dentro de un triángulo . Llevan el nombre de Henri Brocard (1845-1922), un matemático francés.
Definición
En un triángulo ABC con lados a , b , y c , donde los vértices están etiquetados A , B y C con el fin en sentido antihorario, hay exactamente un punto P de tal manera que los segmentos de línea de AP , BP y CP forman el mismo ángulo, omega , con el respectivo lados c , una , y b , a saber, que
El punto P se llama el primer punto de Brocard del triángulo ABC , y el ángulo ω se llama el ángulo de Brocard del triángulo. Este ángulo tiene la propiedad de que
dónde son los ángulos de los vértices respectivamente.
También hay un segundo punto de Brocard , Q, en el triángulo ABC de modo que los segmentos de línea AQ , BQ y CQ forman ángulos iguales con lados b , c y a respectivamente. En otras palabras, las ecuacionessolicitar. Sorprendentemente, este segundo punto de Brocard tiene el mismo ángulo de Brocard que el primer punto de Brocard. En otras palabras, ángulo es lo mismo que
Los dos puntos Brocard están estrechamente relacionados entre sí; De hecho, la diferencia entre el primero y el segundo depende del orden en que se tomen los ángulos del triángulo ABC . Entonces, por ejemplo, el primer punto Brocard del triángulo ABC es el mismo que el segundo punto Brocard del triángulo ACB .
Los dos puntos de Brocard de un triángulo ABC son conjugados isogonales entre sí.
Construcción
La construcción más elegante de los puntos Brocard es la siguiente. En el siguiente ejemplo se presenta el primer punto Brocard, pero la construcción del segundo punto Brocard es muy similar.
Como en el diagrama anterior, forme un círculo a través de los puntos A y B, tangente al borde BC del triángulo (el centro de este círculo está en el punto donde la bisectriz perpendicular de AB se encuentra con la línea que pasa por el punto B que es perpendicular a BC) . Simétricamente, forme un círculo a través de los puntos B y C, tangente al borde AC, y un círculo a través de los puntos A y C, tangente al borde AB. Estos tres círculos tienen un punto común, el primer punto de Brocard del triángulo ABC . Consulte también Líneas tangentes a círculos .
Los tres círculos recién construidos también se designan como epiciclos del triángulo ABC . El segundo punto de Brocard se construye de manera similar.
Trilineales y baricéntricos de los dos primeros puntos Brocard
Las coordenadas trilineales homogéneas para el primer y segundo puntos de Brocard son y respectivamente. Por tanto, sus coordenadas baricéntricas son respectivamente [1] y
El segmento entre los dos primeros puntos Brocard
Los puntos de Brocard son un ejemplo de un par de puntos bicéntricos, pero no son centros de triángulos porque ninguno de los puntos de Brocard es invariante bajo las transformaciones de similitud : reflejar un triángulo escaleno, un caso especial de similitud, convierte un punto de Brocard en el otro. Sin embargo, el par desordenado formado por ambos puntos es invariante bajo similitudes. El punto medio de los dos puntos de Brocard, llamado punto medio de Brocard , tiene coordenadas trilineales
y es un centro triangular. El tercer punto de Brocard , dado en coordenadas trilineales como
es el punto medio de Brocard del triángulo anticomplementario y también es el conjugado isotómico del punto simmediano .
La distancia entre los dos primeros puntos P y Q de Brocard es siempre menor o igual a la mitad del radio R del círculo circunferencial del triángulo : [1] [4]
El segmento entre los dos primeros puntos de Brocard está bisecado perpendicularmente en el punto medio de Brocard por la línea que conecta el circuncentro del triángulo y su punto de Lemoine . Además, el circuncentro, el punto de Lemoine y los dos primeros puntos de Brocard son concíclicos: todos caen en el mismo círculo, del cual el segmento que conecta el circuncentro y el punto de Lemoine es un diámetro . [1]
Distancia del circuncentro
Los puntos de Brocard P y Q son equidistantes del circuncentro O del triángulo : [4]
Similitudes y congruencias
Los triángulos del pedal del primer y segundo punto de Brocard son congruentes entre sí y similares al triángulo original. [4]
Si las líneas AP , BP y CP , cada una a través de uno de los vértices de un triángulo y su primer punto de Brocard, se cruzan con la circunferencia del triángulo en los puntos L , M y N , entonces el triángulo LMN es congruente con el triángulo original ABC . Lo mismo es cierto si el primer punto de Brocard P se sustituye por el segundo punto de Brocard Q . [4]
Notas
- ^ a b c Scott, JA "Algunos ejemplos del uso de coordenadas de área en geometría de triángulos", Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 472–477.
- ^ Entrada X (39) en la Enciclopedia de centros triangulares Archivado el 12 de abril de 2010 en la Wayback Machine.
- ^ Entrada X (76) en la Enciclopedia de centros triangulares Archivado el 12 de abril de 2010 en la Wayback Machine.
- ^ a b c d Weisstein, Eric W. "Puntos Brocard". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/BrocardPoints.html
Referencias
- Akopyan, AV; Zaslavsky, AA (2007), Geometry of Conics , Mathematical World, 26 , American Mathematical Society , págs. 48–52, ISBN 978-0-8218-4323-9.
- Honsberger, Ross (1995), "Capítulo 10. Los puntos de Brocard", Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX , Washington, DC: The Mathematical Association of America.
enlaces externos
- Tercer punto Brocard en MathWorld
- Pares bicéntricos de puntos y centros triangulares relacionados
- Pares de puntos bicéntricos
- Puntos bicéntricos en MathWorld