En las matemáticas , un módulo de Tate de un grupo abeliano, llamada así por John Tate , es un módulo construido a partir de un grupo abeliano A . A menudo, esta construcción se realiza en la siguiente situación: G es un esquema de grupo conmutativo sobre un campo K , K s es el cierre separable de K y A = G ( K s ) (los puntos de G valorados por K s ). En este caso, el módulo Tate de Aestá equipado con una acción del grupo de Galois absoluto de K , y se conoce como el módulo de Tate de G .
Definición
Dado un grupo abeliano A y un número primo p , el módulo p -ádico Tate de A es
donde A [ p n ] es la p n torsión de A (es decir, el núcleo del mapa de multiplicación por p n ), y el límite inverso está sobre enteros positivos n con morfismos de transición dados por el mapa de multiplicación por p A [ p n +1 ] → A [ p n ]. Por lo tanto, la Tate módulo codifica toda la p torsión -de potencia de A . Está equipado con la estructura de un módulo Z p a través de
Ejemplos de
El módulo Tate
Cuando el grupo abeliano A es el grupo de raíces de la unidad en un cierre separable K s de K , el p módulo Tate -adic de A se refiere a veces como el módulo de Tate (donde la elección de P y K se entienden tácitamente). Es un rango un módulo libre sobre Z p con una acción lineal del grupo de Galois absoluto G K de K . Por lo tanto, se trata de una representación de Galois también conocida como la p carácter ciclotómico -adic de K . También se puede considerar como el módulo de Tate de la multiplicativo esquema de grupo G m , K sobre K .
El módulo Tate de una variedad abeliana
Dada una variedad abeliano G sobre un campo K , la K s puntos -valued de G son un grupo abeliano. El módulo p -ádico Tate T p ( G ) de G es una representación de Galois (del grupo de Galois absoluto, G K , de K ).
Resultados clásicos de variedades abelianas muestran que si K tiene característica cero , o ℓ característica donde el número primo p ≠ ℓ, entonces T p ( G ) es un módulo libre sobre Z p de rango 2 d , donde d es la dimensión de G . [1] En el otro caso, sigue siendo gratuito, pero el rango puede tomar cualquier valor de 0 ad (ver, por ejemplo , la matriz de Hasse-Witt ).
En el caso donde p no es igual a la característica de K , el módulo p -ádico Tate de G es el dual de la cohomología étale .
Un caso especial de la conjetura de Tate puede expresarse en términos de módulos de Tate. [2] Supongamos que K es de generación finita sobre su campo prime (por ejemplo, un campo finito , un campo de número algebraico , un campo de función global ), de diferente característica de p , y A y B son dos variedades abelianas más de K . La conjetura de Tate predice entonces que
donde Hom K ( A , B ) es el grupo de morfismos de las variedades abelianas de A a B , y el lado derecho es el grupo de mapas lineales G K de T p ( A ) a T p ( B ). El caso en el que K es un campo finito fue probado por el propio Tate en la década de 1960. [3] Gerd Faltings demostró el caso en el que K es un campo numérico en su célebre "artículo de Mordell". [4]
En el caso de un jacobiano sobre una curva C sobre un campo finito k de característica prima ap , el módulo Tate puede identificarse con el grupo de Galois de la extensión compuesta
dónde es una extensión de k que contiene todas las raíces p de la unidad y A ( p ) es la extensión p abeliana no ramificada máxima de. [5]
Módulo Tate de un campo numérico
La descripción del módulo Tate para el campo de función de una curva sobre un campo finito sugiere una definición para un módulo Tate de un campo numérico algebraico , la otra clase de campo global , introducida por Kenkichi Iwasawa . Para un campo numérico K, dejamos que K m denote la extensión por p m - raíces de potencia de la unidad,la unión de K m y A ( p ) la extensión p abeliana no ramificada máxima de. Dejar
Entonces T p ( K ) es un pro- p -group y por lo que un Z p -módulo. Usando la teoría de campo de clases, uno puede describir T p ( K ) como isomorfo al límite inverso de los grupos de clases C m de la K m bajo la norma. [5]
Iwasawa exhibió T p ( K ) como un módulo sobre la terminación Z p [[ T ]] y esto implica una fórmula para el exponente de p en el orden de los grupos de clases C m de la forma
El teorema de Ferrero-Washington establece que μ es cero. [6]
Ver también
Notas
- ^ Murty 2000 , Proposición 13.4
- ↑ Murty 2000 , §13.8
- ^ Tate 1966
- ^ Faltings 1983
- ↑ a b Manin y Panchishkin , 2007 , p. 245
- ^ Manin y Panchishkin 2007 , p. 246
Referencias
- Faltings, Gerd (1983), "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern", Inventiones Mathematicae , 73 (3): 349–366, doi : 10.1007 / BF01388432
- "Módulo Tate" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Murty, V. Kumar (2000), Introducción a las variedades abelianas , Serie de monografías CRM, 3 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1179-5
- Sección 13 de Rohrlich, David (1994), "Curvas elípticas y el grupo Weil-Deligne", en Kisilevsky, Hershey; Murty, M. Ram (eds.), Curvas elípticas y temas relacionados , Actas de CRM y notas de conferencias, 4 , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-6994-9
- Tate, John (1966), "Endomorfismos de variedades abelianas sobre campos finitos", Inventiones Mathematicae , 2 : 134-144, doi : 10.1007 / bf01404549 , MR 0206004