En matemáticas , la función gamma p -ádica Γ p es una función de una variable p -ádica análoga a la función gamma . Primero fue definido explícitamente por Morita (1975) , aunque Boyarsky (1980) señaló que Dwork (1964) usó implícitamente la misma función. Diamond (1977) definió un análogo p -ádico G p de log Γ. Overholtzer (1952) había dado previamente una definición de una p diferente-Análogo ádico de la función gamma, pero su función no tiene propiedades satisfactorias y no se usa mucho.
Definición
La función gamma p -ádica es la función continua única de un entero p -ádico x (con valores en) tal que
para enteros positivos x , donde el producto está restringido a enteros i no divisibles por p . Como los enteros positivos son densos con respecto a la topología p -ádica en, puede extenderse únicamente a la totalidad de . Aquíes el anillo de p -enteros ádicos . De la definición se desprende que los valores de son invertibles en ; esto se debe a que estos valores son productos de números enteros no divisibles por p , y esta propiedad se mantiene después de la extensión continua a. Por lo tanto. Aquíes el conjunto de enteros p -ádicos invertibles .
Propiedades básicas de
La función gamma clásica satisface la ecuación funcional para cualquier . Esto tiene un análogo con respecto a la función gamma de Morita:
La fórmula de reflexión de Euler tiene su siguiente contraparte simple en el caso p -adic:
dónde es el primer dígito en la expansión p -ádica de x , a menos que, en ese caso en lugar de 0.
Valores especiales
y en general,
A la función gamma de Morita está relacionada con el símbolo de Legendre :
También se puede ver que por eso como . [1] : 369
Otros valores especiales interesantes provienen de la fórmula de Gross-Koblitz , que primero fue probada por herramientas cohomológicas , y luego fue probada usando métodos más elementales. [2] Por ejemplo,
dónde denota la raíz cuadrada con el primer dígito 3, y denota la raíz cuadrada con el primer dígito 2. (Tales especificaciones siempre deben hacerse si hablamos de raíces).
Otro ejemplo es
dónde es la raíz cuadrada de en congruente con 1 módulo 3. [3]
Fórmula p -ádica Raabe
La fórmula de Raabe para la función gamma clásica dice que
Esto tiene un análogo para el logaritmo Iwasawa de la función gamma de Morita: [4]
La función techo debe entenderse como el límite p -ádico tal que a través de enteros racionales.
Expansión de Mahler
La expansión de Mahler es igualmente importante para las funciones p -ádicas como la expansión de Taylor en el análisis clásico. La expansión de Mahler de la función gamma p -ádica es la siguiente: [1] : 374
donde la secuencia se define por la siguiente identidad:
Ver también
Referencias
- Boyarsky, Maurizio (1980), "p-adic gamma functions and Dwork cohomology", Transactions of the American Mathematical Society , 257 (2): 359–369, doi : 10.2307 / 1998301 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1998301 , MR 0552263
- Diamond, Jack (1977), "La función log gamma p-ádica y las constantes de Euler p-ádicas", Transactions of the American Mathematical Society , 233 : 321–337, doi : 10.2307 / 1997840 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1997840 , Señor 0498503
- Diamond, Jack (1984), "Funciones gamma p-ádicas y sus aplicaciones", en Chudnovsky, David V .; Chudnovsky, Gregory V .; Cohn, Henry; et al. (eds.), Teoría de números (Nueva York, 1982) , Lecture Notes in Math., 1052 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 168-175, doi : 10.1007 / BFb0071542 , ISBN 978-3-540-12909-7, MR 0750664
- Dwork, Bernard (1964), "Sobre la función zeta de una hipersuperficie. II", Annals of Mathematics , Second Series, 80 (2): 227-299, doi : 10.2307 / 1970392 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970392 , MR 0188215
- Morita, Yasuo (1975), "Un análogo p-ádico de la función Γ", Revista de la Facultad de Ciencias. Universidad de Tokio. Sección IA. Matemáticas , 22 (2): 255–266, hdl : 2261/6494 , ISSN 0040-8980 , MR 0424762
- Overholtzer, Gordon (1952), "Funciones de suma en análisis p-ádico elemental", American Journal of Mathematics , 74 (2): 332–346, doi : 10.2307 / 2371998 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371998 , MR 0048493
- ^ a b Robert, Alain M. (2000). Un curso de análisis p-ádico . Nueva York: Springer-Verlag .
- ^ Robert, Alain M. (2001). "La fórmula de Gross-Koblitz revisada" . Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. La Revista Matemática de la Universidad de Padova . 105 : 157-170. doi : 10.1016 / j.jnt.2009.08.005 . hdl : 2437/90539 . ISSN 0041-8994 . Señor 1834987 .
- ^ Cohen, H. (2007). Teoría de números . 2 . Nueva York: Springer Science + Business Media . pag. 406.
- ^ Cohen, Henri; Eduardo, Friedman (2008). "Fórmula de Raabe para funciones p -ádicas gamma y zeta" . Annales de l'Institut Fourier . 88 (1): 363–376. doi : 10.5802 / aif.2353 . hdl : 10533/139530 . Señor 2401225 .