En matemáticas , el sistema numérico p -ádico para cualquier número primo p extiende la aritmética ordinaria de los números racionales de una manera diferente desde la extensión del sistema numérico racional a los sistemas numérico real y complejo . La extensión se logra mediante una interpretación alternativa del concepto de "cercanía" o valor absoluto . En particular, dos números p -ádicos se consideran cercanos cuando su diferencia es divisible por una potencia alta de p : cuanto mayor es la potencia, más cercanos están. Esta propiedad habilita p-números ádicos para codificar información de congruencia de una manera que resulte tener aplicaciones poderosas en la teoría de números , incluida, por ejemplo, en la famosa demostración del último teorema de Fermat de Andrew Wiles . [1]
Estos números fueron descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897, [2] aunque, en retrospectiva, algunos de los trabajos anteriores de Ernst Kummer pueden interpretarse como utilizando implícitamente números p -ádicos. [nota 1] Los números p -ádicos fueron motivados principalmente por un intento de llevar las ideas y técnicas de los métodos de series de potencia a la teoría de números . Su influencia ahora se extiende mucho más allá de esto. Por ejemplo, el campo del análisis p -ádico proporciona esencialmente una forma alternativa de cálculo .
Más formalmente, para un primo p dado , el campo Q p de números p -ádicos es una terminación de los números racionales . El campo Q p también recibe una topología derivada de una métrica , que a su vez se deriva del orden p -ádico , una valoración alternativa de los números racionales. Este espacio métrico está completo en el sentido de que cada secuencia de Cauchy converge a un punto en Q p . Esto es lo que permite el desarrollo del cálculo sobre Q p , y es la interacción de esta estructura analítica y algebraica lo que da a los sistemas numéricos p -ádicos su poder y utilidad.
La p en " p -adic" es una variable y puede ser reemplazada con un número primo (produciendo, por ejemplo, "los números 2-ádicos") u otra expresión que represente un número primo. El "adic" de " p -adic" proviene de la terminación que se encuentra en palabras como diádica o triádica .
expansión p -ádica de números racionales
La expansión decimal de un número racional positivo r es su representación como una serie
donde cada es un número entero tal queEsta expansión se puede calcular mediante la división larga del numerador por el denominador, que a su vez se basa en el siguiente teorema: Si es un número racional tal que hay un entero a tal que y con La expansión decimal se obtiene aplicando repetidamente este resultado al resto s que en la iteración asume el papel del número racional original r .
La expansión p - ádica de un número racional se define de manera similar, pero con un paso de división diferente. Más precisamente, dado un número primo fijo p , todo número racional distinto de cero se puede escribir de forma única como donde k es un número entero (posiblemente negativo), y n y d son coprimos enteros tanto coprimos con p . El entero k es la valoración p -ádica de r , denotada y es su valor absoluto p -ádico , denotado(el valor absoluto es pequeño cuando la valoración es grande). El paso de división consiste en escribir
donde a es un número entero tal quey s es cero o un número racional tal que (es decir, ).
La expansión p - ádica de r es la serie de potencias formales
obtenido repitiendo indefinidamente el paso de división en residuos sucesivos. En una expansión p -ádica, todos son enteros tales que
Si con n > 0 , el proceso se detiene eventualmente con un resto cero; en este caso, la serie se completa arrastrando términos con un coeficiente cero, y es la representación de r en base p .
La existencia y el cálculo de la expansión p -ádica de un número racional resulta de la identidad de Bézout de la siguiente manera. Si, como arriba,y d y p son coprimos, existen enteros t y u tales que Entonces
Entonces, la división euclidiana de nt por p da
con Esto da el paso de división como
para que en la iteración
es el nuevo número racional.
La singularidad del paso de división y de toda la expansión p -ádica es fácil: siuno tiene y p divide de uno obtiene y por lo tanto
La expansión p -ádica de un número racional es una serie que converge al número racional, si se aplica la definición de una serie convergente con el valor absoluto p -ádico. En la notación p -ádica estándar , los dígitos se escriben en el mismo orden que en un sistema p estándar de base , es decir, con las potencias de la base aumentando hacia la izquierda. Esto significa que la producción de los dígitos se invierte y el límite ocurre en el lado izquierdo.
La expansión p -ádica de un número racional es eventualmente periódica . Por el contrario, una serie con converge (para el valor absoluto p -ádico) a un número racional si y solo si finalmente es periódico; en este caso, la serie es la expansión p -ádica de ese número racional. La prueba es similar a la del resultado similar para decimales repetidos .
Ejemplo
Calculemos la expansión 5-ádica de La identidad de Bézout para 5 y el denominador 3 es (para ejemplos más grandes, esto se puede calcular con el algoritmo euclidiano extendido ). Por lo tanto
Para el siguiente paso, hay que "dividir" (el factor 5 en el numerador de la fracción debe verse como un " cambio " de la valoración p -ádica y, por lo tanto, no está involucrado en la "división"). Multiplicando la identidad de Bézout por da
La "parte entera" no está en el intervalo correcto. Entonces, uno tiene que usar la división euclidiana por por conseguir donación
y
Del mismo modo, uno tiene
y
Como el "resto" ya se ha encontrado, el proceso se puede continuar fácilmente, dando coeficientes para potencias impares de cinco, y para poderes uniformes. O en la notación estándar de 5 adic
con la elipsis en el lado izquierdo.
serie p -adic
En este artículo, dado un número primo p , una serie p -ádica es una serie formal de la forma
donde cada distinto de cero es un número racional tal que ninguno de y es divisible por p .
Cada número racional puede verse como una serie p -ádica con un solo término, que consiste en su factorización de la formacon n y d ambos primos entre sí con p .
Una serie p -ádica se normaliza si cada es un número entero en el intervalo Entonces, la expansión p -ádica de un número racional es una serie p -ádica normalizada .
La valoración p -ádica, o el orden p -ádico de una serie p -ádica distinta de cero es el entero más bajo i tal que El orden de la serie cero es el infinito.
Dos series p -ádicas son equivalentes si tienen el mismo orden k , y si para cada entero n ≥ k la diferencia entre sus sumas parciales
tiene un orden mayor que n (es decir, es un número racional de la forma con y un y b tanto primos entre sí con p ).
Para cada serie p -adic, hay una serie normalizada única tal que y son equivalentes. es la normalización deLa prueba es similar a la prueba de existencia de la expansión p -ádica de un número racional. En particular, cada número racional puede considerarse como una serie p -ádica con un solo término distinto de cero, y la normalización de esta serie es exactamente la representación racional del número racional.
En otras palabras, la equivalencia de la serie p -ádica es una relación de equivalencia , y cada clase de equivalencia contiene exactamente una serie p -ádica normalizada .
Las operaciones habituales de serie (suma, resta, multiplicación, división) mapa p serie -adic a p serie -adic, y son compatibles con la equivalencia de p serie -adic. Es decir, denotando la equivalencia con ~ , si S , T y U son series p -ádicas distintas de cero tales que uno tiene
Además, S y T tienen el mismo orden y el mismo primer término.
Notación posicional
Es posible usar una notación posicional similar a la que se usa para representar números en base p .
Dejar ser una serie p -ádica normalizada , es decir, cada es un número entero en el intervalo Uno puede suponer que configurando por (Si ) y sumando los términos cero resultantes a la serie.
Si la notación posicional consiste en escribir el consecutivamente, ordenados por valores decrecientes de i , a menudo con p a la derecha como índice:
Entonces, el cálculo del ejemplo anterior muestra que
y
Cuándo se añade un punto de separación antes de los dígitos con índice negativo y, si el índice p está presente, aparece justo después del punto de separación. Por ejemplo,
y
Si una representación p -ádica es finita a la izquierda (es decir,para valores grandes de i ), entonces es la representación p -ádica de un número racional no negativo de la formacon n un número entero yEstos números racionales son exactamente los números racionales no negativos que tienen una representación finita en base p . Para estos números racionales, las dos representaciones son iguales.
Definición
Hay varias definiciones equivalentes de números p -ádicos. El que se da aquí es relativamente elemental, ya que no involucra ningún otro concepto matemático que los introducidos en los apartados anteriores. Otras definiciones equivalentes usan la terminación de un anillo de valoración discreto (ver § enteros p-ádicos ), la terminación de un espacio métrico (ver § Propiedades topológicas ) o límites inversos (ver § Propiedades modulares ).
Un número p -ádico se puede definir como una serie p -ádica normalizada . Dado que existen otras definiciones equivalentes que se usan comúnmente, se dice a menudo que una serie p -ádica normalizada representa un número p -ádico, en lugar de decir que es un número p -ádico.
También se puede decir que cualquier serie p -ádica representa un número p -ádico, ya que cada serie p -ádica es equivalente a una serie p -ádica normalizada única . Esto es útil para definir operaciones (suma, resta, multiplicación, división) de p -números ádicos: el resultado de tal operación se obtiene normalizando el resultado de la operación correspondiente en serie. Esto define bien las operaciones sobre números p -ádicos, ya que las operaciones en serie son compatibles con la equivalencia de las series p -ádicas.
Con estas operaciones, los números p -ádicos forman un campo (matemáticas) llamado campo de números p -ádicos y se denota o Hay un homomorfismo de campo único de los números racionales a los números p -ádicos, que mapea un número racional a su expansión p -ádica. La imagen de este homomorfismo se identifica comúnmente con el campo de los números racionales. Esto permite considerar los números p -ádicos como un campo de extensión de los números racionales y los números racionales como un subcampo de los números p -ádicos.
La valoración de un número p -ádico x distinto de cero , comúnmente denotadoes el exponente de p en el primer término distinto de cero de cada serie p -ádica que representa x . Por convención, es decir, la valoración de cero, es Esta valoración es una valoración discreta . La restricción de esta valoración a los números racionales es la valoración p -ádica dees decir, el exponente v en la factorización de un número racional comocon n y d coprime con p .
p -enteros ádicos
Los enteros p -ádicos son los números p -ádicos con una valoración no negativa.
Todo entero es un entero p -ádico (incluido el cero, ya que). Los números racionales de la formacon d primos entre sí con p ytambién son enteros p -ádicos.
Los enteros p -ádicos forman un anillo conmutativo , denotado o que tiene las siguientes propiedades.
- Es un dominio integral , ya que es un subanillo de un campo, o porque el primer término de la representación en serie del producto de dos series p -ádicas distintas de cero es el producto de sus primeros términos.
- Las unidades (elementos invertibles) deson los números p -ádicos de valoración cero.
- Es un dominio ideal principal , de modo que cada ideal es generado por una potencia de p .
- Es un anillo local de la dimensión uno de Krull , ya que su único ideal primo es el ideal cero o el ideal generado por p , el ideal máximo único.
- Es un anillo de valoración discreto , ya que resulta de las propiedades anteriores.
- Es la finalización del anillo local.que es la localización de en el mejor ideal
La última propiedad proporciona una definición de los números p -ádicos que es equivalente a la anterior: el campo de los números p -ádicos es el campo de fracciones de la finalización de la localización de los enteros en el ideal primo generado por p .
Propiedades topologicas
El p valoración -adic permite la definición de un valor absoluto en p números -adic: el p valor absoluto -adic de un distinto de cero p número -adic x es
dónde es la valoración p -ádica de x . El valor absoluto p -ádico de es Este es un valor absoluto que satisfizo la fuerte desigualdad triangular ya que, para cada x y y uno tiene
- si y solo si
Además, si uno tiene
Esto hace que los números p -ádicos sean un espacio métrico , e incluso un espacio ultramétrico , con la distancia p -ádica definida por
Como espacio métrico, los números p -ádicos son la finalización de los números racionales equipados con el valor absoluto p -ádico. Esto proporciona otra forma de definir los números p -ádicos. Sin embargo, la construcción general de una terminación se puede simplificar en este caso, porque la métrica se define mediante una valoración discreta (en resumen, se puede extraer de cada secuencia de Cauchy una subsecuencia tal que las diferencias entre dos términos consecutivos tengan valores absolutos estrictamente decrecientes ; tal subsecuencia es la secuencia de las sumas parciales de una serie p -ádica y, por lo tanto, una serie p -ádica normalizada única se puede asociar a cada clase de equivalencia de secuencias de Cauchy; por lo tanto, para construir la terminación, basta con considerar normalizada p -series ádicas en lugar de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy).
Como la métrica se define a partir de una valoración discreta, cada bola abierta también está cerrada. Más precisamente, la bola abierta es igual a la bola cerrada donde v es el menor número entero tal que Similar, donde w es el mayor número entero tal que
Esto implica que los números p -ádicos forman un espacio localmente compacto , y los números p -ádicos, es decir, la bola—Forma un espacio compacto .
Propiedades modulares
El anillo del cociente puede identificarse con el anillo de los enteros modulo Esto se puede demostrar observando que todo entero p -ádico, representado por su serie p -ádica normalizada , es módulo congruentecon su suma parcial cuyo valor es un número entero en el intervalo Una verificación sencilla muestra que esto define un isomorfismo de anillo de a
El límite inverso de los anillos se define como el anillo formado por las secuencias tal que y por cada i .
El mapeo que mapea una serie p -ádica normalizada a la secuencia de sus sumas parciales es un isomorfismo de anillo de al límite inverso de la Esto proporciona otra forma de definir enteros p -ádicos ( hasta un isomorfismo).
Esta definición de enteros p -ádicos es especialmente útil para cálculos prácticos, ya que permite construir enteros p -ádicos mediante aproximaciones sucesivas.
Por ejemplo, para calcular el inverso p -ádico (multiplicativo) de un entero, se puede utilizar el método de Newton , comenzando por el módulo inverso p ; entonces, cada paso de Newton calcula el módulo inverso desde el módulo inverso
El mismo método se puede utilizar para calcular la raíz cuadrada p -ádica de un entero que es un residuo cuadrático módulo p . Este parece ser el método más rápido conocido para probar si un entero grande es un cuadrado: basta con probar si el entero dado es el cuadrado del valor encontrado en tan pronto es mayor que el doble del entero dado.
El levantamiento de Hensel es un método similar que permite "elevar" el módulo de factorización p de un polinomio con coeficientes enteros a un módulo de factorización.para valores grandes de n . Esto es comúnmente utilizado por algoritmos de factorización polinomial .
Notación
Hay varias convenciones diferentes para escribir expansiones p -ádicas. Hasta ahora, este artículo ha utilizado una notación para expansiones p -ádicas en las que las potencias de p aumentan de derecha a izquierda. Con esta notación de derecha a izquierda, la expansión 3-ádica de 1 ⁄ 5 , por ejemplo, se escribe como
Al realizar operaciones aritméticas en esta notación, los dígitos se llevan a la izquierda. También es posible escribir expansiones p -ádicas de modo que las potencias de p aumenten de izquierda a derecha y los dígitos se lleven a la derecha. Con esta notación de izquierda a derecha, la expansión 3-ádica de 1 ⁄ 5 es
Las expansiones p -ádicas se pueden escribir con otros conjuntos de dígitos en lugar de {0, 1, ..., p - 1 }. Por ejemplo, la expansión 3-adic de 1 / 5 se puede escribir usando equilibradas ternarias dígitos { 1 , 0,1} como
De hecho, cualquier conjunto de p enteros que estén en distintas clases de residuos módulo p puede usarse como p -dígitos ádicos. En teoría de números, los representantes de Teichmüller a veces se utilizan como dígitos. [3]
La notación decomillases una variante de larepresentaciónp-ádica denúmeros racionalesque fue propuesta en 1979 porEric HehneryNigel Horspoolpara implementar en computadoras la aritmética (exacta) con estos números. [4]
Cardinalidad
Ambas cosas y son incontables y tienen la cardinalidad del continuo . [5] Paraesto resulta de la representación p -ádica, que define una biyección deen el conjunto de energía Para esto resulta de su expresión como una unión infinitamente contable de copias de
Cierre algebraico
Q p contiene Q y es un campo de característica 0 .Este campo no se puede convertir en un campo ordenado .
R tiene una sola extensión algebraica propia: C ; en otras palabras, esta extensión cuadrática ya está algebraicamente cerrada . Por el contrario, el cierre algebraico de Q p , denotadotiene grado infinito, [6] es decir, Q p tiene infinitas extensiones algebraicas no equivalentes. También contrasta el caso de los números reales, aunque hay una extensión única de la valoración p -ádica paraeste último no es (métricamente) completo. [7] [8] Su finalización (métrica) se llama C p o Ω p . [8] [9] Aquí se llega a un final, ya que C p es algebraicamente cerrado. [8] [10] Sin embargo, a diferencia de C, este campo no es localmente compacto. [9]
C p y C son isomorfos como anillos, por lo que podemos considerar a C p como C dotado de una métrica exótica. La prueba de la existencia de tal isomorfismo de campo se basa en el axioma de elección y no proporciona un ejemplo explícito de tal isomorfismo (es decir, no es constructivo ).
Si K es una extensión de Galois finita de Q p , el grupo de Galois es solucionable . Así, el grupo Galoises prosoluble .
Grupo multiplicativo
Q p contiene el n - ésimo campo ciclotómico ( n > 2 ) si y solo si n | p - 1 . [11] Por ejemplo, el n -ésimo campo ciclotómico es un subcampo de Q 13 si y solo si n = 1, 2, 3, 4, 6 o 12 . En particular, no hay p - torsión multiplicativaen Q p , si p > 2 . Además, −1 es el único elemento de torsión no trivial en Q 2 .
Dado un número natural k , el índice del grupo multiplicativo de las k -ésimas potencias de los elementos distintos de cero de Q p en es finito.
El número e , definido como la suma de recíprocos de factoriales , no es miembro de ningún campo p -ádico; pero e p ∈ Q p ( p ≠ 2) . Para p = 2 se debe tomar al menos la cuarta potencia. [12] (Por lo tanto, un número con propiedades similares a e , es decir, una p -ésima raíz de e p , es miembro depara todos p .)
Principio local-global
Se dice que el principio local-global de Helmut Hasse es válido para una ecuación si puede resolverse sobre los números racionales si y solo si puede resolverse sobre los números reales y sobre los p -números ádicos para cada primo p . Este principio es válido, por ejemplo, para ecuaciones dadas por formas cuadráticas , pero falla para polinomios superiores en varios indeterminados.
Aritmética racional con elevación de Hensl
Los reales y los números p -ádicos son las terminaciones de los racionales; también es posible completar otros campos, por ejemplo campos numéricos algebraicos generales , de forma análoga. Esto se describirá ahora.
Suponga que D es un dominio de Dedekind y E es su campo de fracciones . Elija un no-cero prime ideales P de D . Si x es un elemento no nulo de E , entonces xD es un ideales fraccional y puede ser un factor de forma única como producto de potencias positivas y negativas de los ideales que no sea cero primos de D . Escribimos ord P ( x ) para el exponente de P en esta factorización, y para cualquier elección del número c mayor que 1 podemos establecer
Completando con respecto a este valor absoluto |. | P produce un campo E P , la generalización adecuada del campo de los números p -ádicos a esta configuración. La elección de c no cambia la terminación (diferentes opciones producen el mismo concepto de secuencia de Cauchy, por lo que la misma terminación). Es conveniente, cuando el campo residuo D / P es finito, a dar por c el tamaño de D / P .
Por ejemplo, cuando E es un campo numérico , el teorema de Ostrowski dice que todo valor absoluto no trivial no arquimediano en E surge como algún |. | P . Los restantes valores absolutos no triviales de E surgen de las diferentes incrustaciones de E en los números reales o complejos. (De hecho, los valores absolutos que no son de Arquímedes pueden considerarse simplemente como las diferentes incrustaciones de E en los campos C p , colocando así la descripción de todos los valores absolutos no triviales de un campo numérico en una base común).
A menudo, es necesario realizar un seguimiento simultáneo de todas las finalizaciones mencionadas anteriormente cuando E es un campo numérico (o más generalmente un campo global ), que se considera que codifica información "local". Esto se logra mediante anillos adele y grupos idele .
Los números enteros p -ádicos se pueden extender a solenoides p -ádicos . Hay un mapa deal anillo circular cuyas fibras son los enteros p -ádicos, en analogía a cómo hay un mapa de al anillo circular cuyas fibras son .
Ver también
- 1 + 2 + 4 + 8 + ...
- notación k -ádica
- Teoría C-mínima
- Lema de Hensel
- Campo localmente compacto
- Teorema de mahler
- p -mecánica cuántica ádica
- Entero profinito
- Integral Volkenborn
Notas al pie
Notas
- ^ Introducción del traductor, página 35 : "De hecho, en retrospectiva, se hace evidente que una valoración discreta está detrás del concepto de números ideales de Kummer" ( Dedekind & Weber 2012 , p. 35).
Citas
- ^ ( Gouvêa 1994 , págs. 203–222)
- ↑ ( Hensel 1897 )
- ↑ ( Hazewinkel 2009 , p. 342)
- ^ ( Hehner y Horspool 1979 , págs. 124-134)
- ↑ ( Robert 2000 , Capítulo 1 Sección 1.1)
- ↑ ( Gouvêa 1997 , Corolario 5.3.10)
- ↑ ( Gouvêa 1997 , Teorema 5.7.4)
- ↑ a b c ( Cassels 1986 , p. 149)
- ↑ a b ( Koblitz 1980 , p. 13)
- ↑ ( Gouvêa 1997 , Proposición 5.7.8)
- ↑ ( Gouvêa 1997 , Proposición 3.4.2)
- ^ ( Robert 2000 , sección 4.1)
Referencias
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- Hensel, Kurt (1897), "Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 6 (3): 83–88
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Otras lecturas
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- Koblitz, Neal (1984),p Números -adic, p Análisis -adic, y Zeta-Funciones , Graduate Textos en Matemáticas , 58 (2ª ed.), Springer, ISBN 0-387-96017-1
- Mahler, Kurt (1981),p -números ádicos y sus funciones , Cambridge Tracts in Mathematics, 76 (2a ed.), Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-23102-7, Zbl 0444.12013
- Steen, Lynn Arthur (1978), Contraejemplos en topología , Dover, ISBN 0-486-68735-X
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Número p-adic" . MathWorld .
- número p -adic en la Enciclopedia de Matemáticas en línea de Springer
- Finalización del cierre algebraico : notas de clase en línea de Brian Conrad
- Una introducción a la p Números -adic y p Análisis -adic - en línea Lecture Notes por Andrew Baker, 2007
- Aritmética p-ádica eficiente (diapositivas)
- Introducción a los números p-ádicos
- Houston-Edwards, Kelsey (19 de octubre de 2020), Un universo infinito de sistemas numéricos , Revista Quanta