En matemáticas , un campo p -ádico cerrado es un campo que disfruta de una propiedad de cierre que es un análogo cercano de los campos p -ádicos a lo que el cierre real es para el campo real . Fueron presentados por James Axe y Simon B. Kochen en 1965. [1]
Definición
Deje que K sea el ℚ campo de los números racionales y v sea su habitual p -adic valoración (con). Si F es un campo de extensión (no necesariamente algebraico) de K , equipado a su vez con una valoración w , decimos quees formalmente p -ádico cuando se cumplen las siguientes condiciones:
- w extiende v (es decir,para todo x en K ),
- el campo de residuos de w coincide con el campo de residuos de v (el campo de residuos es el cociente del anillo de valoraciónpor su máximo ideal ),
- el valor positivo más pequeño de W coincide con el valor positivo más pequeño de v (es decir, 1, puesto que v se supone que ser normalizada): en otras palabras, un Uniformizador para K sigue siendo un Uniformizador para F .
(Tenga en cuenta que el grupo de valores de K puede ser mayor que el de F, ya que puede contener elementos infinitamente grandes sobre este último).
Los campos formalmente p -ádicos pueden verse como un análogo de los campos formalmente reales.
Por ejemplo, el campo ℚ (i) de los racionales gaussianos , si está equipado con la valoración w dada por (y ) es formalmente 5-ádico (el lugar v = 5 de los racionales se divide en dos lugares de los racionales gaussianos ya quefactores sobre el campo de residuos con 5 elementos, y w es uno de estos lugares). El campo de números 5-ádicos (que contiene tanto los racionales como los racionales gaussianos incrustados según el lugar w ) también es formalmente 5-ádico. Por otro lado, el campo de los racionales gaussianos no es formalmente 3-ádico para ninguna valoración, porque la única valoración w sobre él que extiende la valoración 3-ádica está dada por y su campo de residuos tiene 9 elementos.
Cuando F es formalmente p -ádico pero que no existe ninguna extensión algebraica formalmente p -ádica adecuada de F , entonces se dice que F es p -ádico cerrado . Por ejemplo, el campo de los números p -ádicos es p -ádicamente cerrado, y también lo es el cierre algebraico de los racionales dentro de él (el campo de los números algebraicos p -ádicos).
Si F es p -ádicamente cerrado, entonces: [2]
- hay una valoración única w sobre F que hace que F p -ádicamente cerrado (por lo que es legítimo decir que F , en lugar del par, es p -ádicamente cerrado),
- F es henseliana con respecto a este lugar (es decir, su anillo de valoración es así),
- el anillo de valoración de F es exactamente la imagen del operador de Kochen (ver más abajo ),
- el grupo de valores de F es una extensión por ℤ (el grupo de valores de K ) de un grupo divisible, con el orden lexicográfico .
La primera afirmación es análoga al hecho de que el orden de un campo cerrado real está determinado únicamente por la estructura algebraica.
Las definiciones dadas anteriormente se pueden copiar a un contexto más general: si K es un campo equipado con una valoración v tal que
- el campo de residuos de K es finito (llame q su cardinal yp su característica),
- el grupo de valores de v admite un elemento positivo más pequeño (llámelo 1, y diga que π es un uniformizador, es decir),
- K tiene ramificación absoluta finita, es decir, es finito (es decir, un múltiplo finito de ),
(estas hipótesis se satisfacen para el campo de los racionales, con q = π = p el número primo con valoración 1) entonces podemos hablar de campos formalmente v -ádicos (o-adic si es el ideal correspondiente av ) y v -campos completamente completos.
El operador de Kochen
Si K es un campo equipado con una valoración v que satisface la hipótesis y con las notaciones introducidas en el párrafo anterior, defina el operador de Kochen por:
(Cuándo ). Es fácil comprobar quesiempre tiene valoración no negativa. El operador de Kochen se puede considerar como un análogo p -ádico (o v -ádico) de la función cuadrada en el caso real.
Un campo de extensión F de K es formalmente v -ádico si y solo sino pertenece a la subanillo generada sobre el anillo valor de K por la imagen del operador Kochen en F . Este es un análogo del enunciado (o definición) de que un campo es formalmente real cuando no es una suma de cuadrados.
Teoría de primer orden
La teoría de primer orden de los campos p -ádicos cerrados (aquí nos estamos restringiendo al caso p -ádico, es decir, K es el campo de los racionales yv es la valoración p -ádica) es completa y el modelo está completo , y si Enriquece ligeramente el lenguaje admite eliminación de cuantificadores . Así, se pueden definir campos p -ádicamente cerrados como aquellos cuya teoría de primer orden es elementalmente equivalente a la de.
Notas
Referencias
- Ax, James; Kochen, Simon (1965). "Problemas diofánticos sobre campos locales. II. Un conjunto completo de axiomas para la teoría de números 𝑝-ádicos". Amer. J. Math . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. 87 (3): 631–648. doi : 10.2307 / 2373066 . JSTOR 2373066 .
- Kochen, Simon (1969). "Funciones racionales con valores enteros sobre los números 𝑝-ádicos: un análogo 𝑝-ádico de la teoría de campos reales". Teoría de números (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XII, Houston, Texas, 1967) . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 57–73.
- Kuhlmann, F.-V. (2001) [1994], "campo de p-adically cerrado" , Enciclopedia de Matemáticas , el ccsme Press , recuperada 2009-02-03
- Jarden, Moshe; Roquette, Peter (1980). "El Nullstellensatz sobre campos 𝔭-adicamente cerrados" . J. Math. Soc. Japón . 32 (3): 425–460. doi : 10.2969 / jmsj / 03230425 .