En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , dado un número primo p , un p -grupo es un grupo en el que el orden de cada elemento es una potencia de p . Es decir, para cada elemento g de un p -grupo G , existe un entero no negativo n tal que el producto de p n copias de g , y no menos, es igual al elemento identidad . Los órdenes de diferentes elementos pueden ser diferentes potencias de p .
Un grupo finito es un p -grupo si y solo si su orden (el número de sus elementos) es una potencia de p . Dado un grupo finito G , los teoremas de Sylow garantizan la existencia de un subgrupo de G de orden p n para toda potencia prima p n que divide al orden de G .
El resto de este artículo trata de p -grupos finitos. Para ver un ejemplo de un grupo p abeliano infinito , consulte el grupo de Prüfer y, para ver un ejemplo de un grupo p simple infinito , consulte el grupo de monstruos de Tarski .
Si p es primo y G es un grupo de orden p k , entonces G tiene un subgrupo normal de orden p m para todo 1 ≤ m ≤ k . Esto se sigue por inducción, usando el teorema de Cauchy y el teorema de la correspondencia para grupos. Un boceto de prueba es el siguiente: debido a que el centro Z de G no es trivial (ver más abajo), según el teorema de Cauchy, Z tiene un subgrupo H de orden p . Siendo central en G , Hes necesariamente normal en G. Ahora podemos aplicar la hipótesis inductiva a G/H y el resultado se sigue del teorema de la correspondencia.
Uno de los primeros resultados estándar usando la ecuación de clase es que el centro de un grupo p finito no trivial no puede ser el subgrupo trivial. [1]
Por ejemplo, el normalizador N de un subgrupo propio H de un p -grupo G finito contiene propiamente H , porque para cualquier contraejemplo con H = N , el centro Z está contenido en N , y por tanto también en H , pero entonces hay un ejemplo más pequeño H / Z cuyo normalizador en G / Z es N / Z = H / Z , creando un descenso infinito. Como corolario, todo finitoEl grupo p es nilpotente .