En el análisis matemático , la variación p es una colección de seminormas sobre funciones desde un conjunto ordenado a un espacio métrico , indexado por un número real.. p -variation es una medida de la regularidad o suavidad de una función. Específicamente, si, dónde es un espacio métrico y yo un conjunto totalmente ordenado, su p -variación es
donde D se extiende sobre todos los finitos particiones del intervalo I .
La variación p de una función disminuye con p . Si f tiene una p -variación finita yg es una función continua α -Hölder, entonces tiene finito -variación.
El caso en el que p es uno se llama variación total , y las funciones con una variación 1 finita se denominan funciones de variación acotada .
Vínculo con la norma Hölder
Se puede interpretar la p -variación como una versión independiente de los parámetros de la norma de Hölder, que también se extiende a funciones discontinuas.
Si f es α - Hölder continua (es decir, su norma α-Hölder es finita) entonces su-variación es finita. Específicamente, en un intervalo [ a , b ],.
Por el contrario, si f es continua y tiene una variación p finita , existe una reparametrización,, tal que es Hölder continuo. [1]
Si p es menor que q, entonces el espacio de funciones de variación p finita en un conjunto compacto está continuamente incrustado con la norma 1 en las de variación q finita. Es decir. Sin embargo, a diferencia de la situación análoga con los espacios de Hölder, la incrustación no es compacta. Por ejemplo, considere las funciones reales en [0,1] dadas por. Están uniformemente acotadas en una variación 1 y convergen puntualmente a una función discontinua f, pero esto no solo no es una convergencia en la variación p para cualquier p, sino que tampoco es una convergencia uniforme.
Aplicación a la integración de Riemann – Stieltjes
Si f y g son funciones de [ a , b ] a ℝ sin discontinuidades comunes y donde f tiene una variación p finita y g una variación q finita, conluego el Integral de Riemann-Stieltjes
está bien definido. Esta integral se conoce como integral de Young porque proviene de Young (1936) . [2] El valor de esta integral definida está acotado por la estimación de Young-Loève de la siguiente manera
donde C es una constante que sólo depende de p y q y ξ es cualquier número entre una y b . [3] Si f y g son continuas, la integral indefinidaes una función continua con variación q finita: Si a ≤ s ≤ t ≤ b entonces, su q -variación en [ s , t ], está limitada pordonde C es una constante que sólo depende de p y q . [4]
Ecuaciones diferenciales de Young
Una función de ℝ d a e × d matrices reales se denomina una forma e valorada en ℝ d .
Si f es una forma única continua de Lipschitz ℝ e valorada en ℝ d , y X es una función continua del intervalo [ a , b ] a ℝ d con una p -variación finita con p menor que 2, entonces la integral de f en X ,, se puede calcular porque cada componente de f ( X ( t )) será una ruta de variación p finita y la integral es una suma de un número finito de integrales de Young. Proporciona la solución a la ecuaciónimpulsado por la ruta X .
Más significativamente, si f es una forma única continua de Lipschitz ℝ e valorada en ℝ e , y X es una función continua desde el intervalo [ a , b ] hasta iation d con una p -variación finita con p menor que 2, entonces Young la integración es suficiente para establecer la solución de la ecuaciónimpulsado por la ruta X . [5]
Ecuaciones diferenciales aproximadas
La teoría de trayectorias aproximadas generaliza las ecuaciones integral y diferencial de Young y hace un uso intensivo del concepto de p -variación.
Para el movimiento browniano
La variación p debe contrastarse con la variación cuadrática que se usa en el análisis estocástico , que lleva de un proceso estocástico a otro. En particular, la definición de variación cuadrática se parece un poco a la definición de p -variación, cuando p tiene el valor 2. La variación cuadrática se define como un límite a medida que la partición se vuelve más fina, mientras que p -variación es superior a todas las particiones. Por tanto, la variación cuadrática de un proceso podría ser menor que su variación 2. Si W t es un movimiento browniano estándar en [0, T ], entonces con probabilidad uno su p -variación es infinita paray finito de lo contrario. La variación cuadrática de W es.
Cálculo de p -variación para series de tiempo discretas
Para una serie de tiempo discreta de observaciones X 0 , ..., X N es sencillo calcular su p -variación con la complejidad de O ( N 2 ). Aquí hay un ejemplo de código C ++ usando programación dinámica :
doble p_var ( const std :: vector < doble > & X , doble p ) { si ( X . tamaño () == 0 ) devolver 0,0 ; std :: vector < doble > cum_p_var ( X . tamaño (), 0.0 ); // variación p acumulativa para ( size_t n = 1 ; n < X . size (); n ++ ) { for ( size_t k = 0 ; k < n ; k ++ ) { cum_p_var [ n ] = std :: max ( cum_p_var [ n ], cum_p_var [ k ] + std :: pow ( std :: abs ( X [ n ] - X [ k ]), p )); } } return std :: pow ( cum_p_var . back (), 1. / p ); }
Existen algoritmos mucho más eficientes, pero también más complicados, para procesos con valores ℝ [6] [7] y para procesos en espacios métricos arbitrarios. [7]
Referencias
- ^ Ullrich, David C. (27 de febrero de 2018). "análisis real - Vínculo entre p -variación y norma de Hölder" . Intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 2 de julio de 2021 .
- ^ https://fabricebaudoin.wordpress.com/2012/12/25/lecture-7-youngs-integral/
- ^ Friz, Peter K .; Victoir, Nicolas (2010). Procesos estocásticos multidimensionales como caminos aproximados: teoría y aplicaciones (Cambridge Studies in Advanced Mathematics ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.
- ^ Lyons, Terry; Caruana, Michael; Levy, Thierry (2007). Ecuaciones diferenciales impulsadas por caminos aproximados, vol. 1908 de Lecture Notes in Mathematics . Saltador.
- ^ https://fabricebaudoin.wordpress.com/2012/12/26/lecture-8-youngs-differential-equations/
- ^ Butkus, V .; Norvaiša, R. (2018). "Cálculo de la variación p". Revista matemática lituana . doi : 10.1007 / s10986-018-9414-3 .
- ^ a b https://github.com/khumarahn/p-var
- Young, LC (1936), "Una desigualdad del tipo Hölder, relacionada con la integración de Stieltjes", Acta Mathematica , 67 (1): 251-282, doi : 10.1007 / bf02401743.
enlaces externos
- Caminos continuos con variación p acotada Fabrice Baudoin
- Sobre la integral joven, variación truncada y caminos accidentados Rafał M. Łochowski