PROP (teoría de categorías)

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En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, una PROP es una categoría monoidal estricta simétrica cuyos objetos son los números naturales n identificados con los conjuntos finitos y cuyo producto tensorial se da sobre objetos por la suma de números. ^[1] Debido a "simétrico", para cada n , el grupo simétrico en n letras se da como un subgrupo del grupo de automorfismos de n . El nombre PROP es una abreviatura de "categoría de producto y permutación ".${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$

La noción fue introducida por Adams y MacLane; la versión topológica de la misma fue dada más tarde por Boardman y Vogt. ^[2] Después de ellos, JP May introdujo la noción de “ operad ”, un tipo particular de PROP.

Una clase elemental importante de PROP son los conjuntos de todas las matrices (independientemente del número de filas y columnas) sobre un anillo fijo . Más concretamente, estas matrices son los morfismos de la PROP; los objetos se pueden tomar como (conjuntos de vectores) o simplemente como números naturales simples (ya que los objetos no tienen que ser conjuntos con alguna estructura). En este ejemplo:${\displaystyle {\mathcal {R}}^{\bullet \times \bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \{{\mathcal {R}}^{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

También hay PROPs de matrices donde el producto es el producto de Kronecker , pero en esa clase de PROPs las matrices deben ser todas de la forma (los lados son todas potencias de alguna base común ); estas son las contrapartes coordinadas de categorías monoidales simétricas apropiadas de espacios vectoriales bajo el producto tensorial.${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle k^{m}\times k^{n}}$ ${\displaystyle k}$

Si se elimina el requisito "simétrico", entonces se obtiene la noción de categoría PRO . Si "simétrico" se reemplaza por b raided , entonces se obtiene la noción de categoría PROB .

Un álgebra de un PRO en una categoría monoide es un funtor monoide estricto de a . Cada PRO y categoría dan lugar a una categoría de álgebras cuyos objetos son las álgebras de en y cuyos morfismos son las transformaciones naturales entre ellos.${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathrm {Alg} _{P}^{C}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$

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