En matemáticas , una restricción de conmutatividad en una categoría monoidal es una elección de isomorfismo para cada par de objetos A y B que forman una "familia natural". En particular, para tener una restricción de conmutatividad, uno debe tener para todos los pares de objetos .
Una categoría monoidal trenzada es una categoría monoidalequipado con un trenzado , es decir, una restricción de conmutatividadque satisfaga los axiomas, incluidas las identidades hexagonales definidas a continuación. El término trenzado hace referencia al hecho de que el grupo trenzado juega un papel importante en la teoría de las categorías monoidales trenzadas. En parte por esta razón, las categorías monoidales trenzadas y otros temas están relacionados en la teoría de los invariantes de nudos .
Alternativamente, una categoría monoidal trenzada puede verse como una categoría trica con una celda 0 y una celda 1.
André Joyal y Ross Street introdujeron las categorías trenzadas monoidales en una preimpresión de 1986. [1] En 1993 se publicó una versión modificada de este documento. [2]
Las identidades hexagonales
Para junto con la restricción de conmutatividad para ser llamado categoría monoidal trenzada, los siguientes diagramas hexagonales deben conmutar para todos los objetos . Aquíes el isomorfismo de asociatividad procedente de la estructura monoidal en:
, |
Propiedades
Coherencia
Se puede demostrar que el isomorfismo natural junto con los mapas procedente de la estructura monoidal en la categoría , satisfacen varias condiciones de coherencia , que establecen que varias composiciones de mapas de estructura son iguales. En particular:
- El trenzado conmuta con las unidades. Es decir, el siguiente diagrama conmuta:
- La acción de en una -Dobla los factores del producto tensorial a través del grupo trenzado . En particular,
como mapas . Aquí hemos omitido los mapas de asociación.
Variaciones
Hay varias variantes de categorías monoidales trenzadas que se utilizan en varios contextos. Véase, por ejemplo, el artículo expositivo de Savage (2009) para una explicación de las categorías monoidales simétricas y co-fronterizas, y el libro de Chari y Pressley (1995) para las categorías de cintas.
Categorías monoidales simétricas
Una categoría monoidal trenzada se llama simétrica si también satisface para todos los pares de objetos y . En este caso la acción de en una -pliegue los factores del producto tensorial a través del grupo simétrico .
Categorías de la cinta
Una categoría monoidal trenzada es una categoría de cinta si es rígida y puede preservar la traza cuántica y la traza cocuántica. Las categorías de cinta son particularmente útiles para construir invariantes de nudos .
Categorías monoidales co-fronterizas
Una categoría monoidal de frontera o "cactus" es una categoría monoidal. junto con una familia de isomorfismos naturales con las siguientes propiedades:
- para todos los pares de objetos y .
La primera propiedad nos muestra que , lo que nos permite omitir el análogo al segundo diagrama de definición de una categoría monoidal trenzada e ignorar los mapas asociadores implícitos.
Ejemplos de
- La categoría de representaciones de un grupo (o un álgebra de Lie ) es una categoría monoidal simétrica donde.
- La categoría de representaciones de un álgebra envolvente universal cuantizada es una categoría monoidal trenzada, donde se construye utilizando la matriz R universal . De hecho, este ejemplo también es una categoría de cinta.
Aplicaciones
- Invariantes de nudos .
- Las categorías monoidales cerradas simétricas se utilizan en modelos denotacionales de lógica lineal y tipos lineales .
- Descripción y clasificación de sistemas cuánticos ordenados topológicos.
Referencias
- ^ André Joyal; Ross Street (noviembre de 1986), "Categorías monoidales trenzadas" (PDF) , Macquarie Mathematics Reports (860081)
- ^ André Joyal; Ross Street (1993), "Categorías de tensores trenzados", Advances in Mathematics , 102 : 20–78, doi : 10.1006 / aima.1993.1055
- Chari, Vyjayanthi ; Pressley, Andrew. "Una guía de grupos cuánticos". Prensa de la Universidad de Cambridge. 1995.
- Salvaje, Alistair. Categorías monoidales trenzadas y co-fronterizas. Álgebras, representaciones y aplicaciones, 229-251, Contemp. Math., 483, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 2009. Disponible en arXiv
enlaces externos
- Categoría monoidal trenzada en nLab
- John Baez (1999), Una introducción a las categorías monoidales trenzadas , Hallazgos de esta semana en física matemática 137.