Transformación de Moebius
En geometría y análisis complejo , una transformación de Möbius del plano complejo es una función racional de la forma
Geométricamente, se puede obtener una transformación de Möbius realizando primero una proyección estereográfica desde el plano a la unidad de dos esferas , rotando y moviendo la esfera a una nueva ubicación y orientación en el espacio, y luego realizando una proyección estereográfica (desde la nueva posición de la esfera ) al avión. [1] Estas transformaciones conservan los ángulos, asignan cada línea recta a una línea o círculo y asignan cada círculo a una línea o círculo.
Las transformaciones de Möbius son las transformaciones proyectivas de la compleja línea proyectiva . Forman un grupo llamado grupo de Möbius , que es el grupo lineal proyectivo PGL (2, C ). Junto con sus subgrupos , tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y física.
Las transformaciones de Möbius se nombran en honor a August Ferdinand Möbius ; también son llamados diversamente homografías , transformaciones homográficas , lineales transformaciones fraccionarias , transformaciones bilineales , transformaciones lineales fraccionales , o transformaciones de rotación (teoría de la relatividad) . [2]
Las transformaciones de Möbius se definen en el plano complejo extendido (es decir, el plano complejo aumentado por el punto en el infinito ).
La proyección estereográfica se identifica con una esfera, que luego se llama esfera de Riemann ; alternativamente, se puede considerar como la línea proyectiva compleja . Las transformaciones de Möbius son exactamente los mapas conformes biyectivos de la esfera de Riemann a sí misma, es decir, los automorfismos de la esfera de Riemann como una variedad compleja ; alternativamente, son los automorfismos de como variedad algebraica. Por lo tanto, el conjunto de todas las transformaciones de Möbius forma un grupo bajo composición . Este grupo se llama grupo de Möbius y, a veces, se denota .
