Los círculos de Apolonio son cualquiera de los varios conjuntos de círculos asociados con Apolonio de Perge , un renombrado geómetra griego . La mayoría de estos círculos se encuentran en planar geometría euclidiana , pero análogos se han definido en otras superficies; por ejemplo, las contrapartes en la superficie de una esfera se pueden definir mediante proyección estereográfica .
Los usos principales de este término son cinco:
- Apolonio demostró que un círculo se puede definir como el conjunto de puntos en un plano que tienen una proporción específica de distancias a dos puntos fijos, conocidos como focos . Este círculo apolíneo es la base del problema de la persecución de Apolonio. Es un caso particular de la primera familia descrita en el # 2.
- Los círculos apolíneos son dos familias de círculos mutuamente ortogonales . La primera familia consta de los círculos con todas las posibles relaciones de distancia a dos focos fijos (los mismos círculos que en el n. ° 1), mientras que la segunda familia consta de todos los círculos posibles que pasan por ambos focos. Estos círculos forman la base de las coordenadas bipolares .
- Los círculos de Apolonio de un triángulo son tres círculos, cada uno de los cuales pasa por un vértice del triángulo y mantiene una relación constante de distancias a los otros dos. Los puntos isodinámicos y la línea de Lemoine de un triángulo se pueden resolver usando estos círculos de Apolonio.
- El problema de Apolonio es construir círculos que sean simultáneamente tangentes a tres círculos específicos. Las soluciones a este problema a veces se denominan círculos de Apolonio .
- La junta apolínea —uno de los primeros fractales jamás descritos— es un conjunto de círculos mutuamente tangentes, formados al resolver el problema de Apolonio de forma iterativa.
Definición de apolonio de un círculo
Un círculo generalmente se define como el conjunto de puntos P a una distancia r dada (el radio del círculo) desde un punto dado (el centro del círculo). Sin embargo, existen otras definiciones equivalentes de círculo. Apolonio descubrió que un círculo podría definirse como el conjunto de puntos P que tienen una razón dada de distancias k = d 1/d 2a dos puntos dados (etiquetados A y B en la Figura 1). Estos dos puntos a veces se denominan focos .
Prueba usando vectores en espacios euclidianos
Sean d 1 , d 2 números reales positivos no iguales. Sea C el punto de división interno de AB en la razón d 1 : d 2 y D el punto de división externo de AB en la misma razón, d 1 : d 2 .
Luego,
Por lo tanto, el punto P está en el círculo que tiene el diámetro CD .
Prueba usando el teorema de la bisectriz de ángulo
Primero considera el punto en el segmento de línea entre y , satisfaciendo la relación. Por la definicion
Luego toma el otro punto en la línea extendida que satisface la relación. Entonces
Problema de persecución de Apolonio
El problema persecución Apolonio es uno de hallazgo en un barco que sale de un punto A a una velocidad v Un interceptará otro buque que abandone un punto diferente B a la velocidad v B . La interceptación en tiempo mínimo de los dos barcos se realiza mediante trayectos en línea recta. Si las velocidades de los barcos se mantienen constantes, su relación de velocidades se define por μ. Si ambos barcos chocan o se encuentran en un punto futuro, I , entonces las distancias de cada uno están relacionadas por la ecuación: [1]
Cuadrando ambos lados, obtenemos:
En expansión:
Mayor expansión:
Traer al lado izquierdo:
Factorización:
Dividiendo por :
Completando el cuadrado:
Traiga términos no cuadrados al lado derecho:
Luego:
Por lo tanto, el punto debe estar en un círculo definido por Apolonio, con sus puntos de partida como focos.
Círculos que comparten un eje radical
Los círculos definidos por el problema de seguimiento apolíneo para los mismos dos puntos A y B , pero con relaciones variables de las dos velocidades, están disjuntos entre sí y forman una familia continua que cubre todo el plano; esta familia de círculos se conoce como lápiz hiperbólico . Otra familia de círculos, los círculos que pasan por A y B , también se denominan lápiz, o más específicamente, lápiz elíptico . Estos dos lápices de círculos apolíneos se cruzan en ángulos rectos y forman la base del sistema de coordenadas bipolar . Dentro de cada lápiz, dos círculos cualesquiera tienen el mismo eje radical ; los dos ejes radicales de los dos lápices son perpendiculares y los centros de los círculos de un lápiz se encuentran en el eje radical del otro lápiz.
Soluciones al problema de Apolonio
En la geometría del plano euclidiano , el problema de Apolonio es construir círculos que sean tangentes a tres círculos dados en un plano.
Tres círculos dados generalmente tienen ocho círculos diferentes que son tangentes a ellos y cada círculo solución encierra o excluye los tres círculos dados de una manera diferente: en cada solución, se encierra un subconjunto diferente de los tres círculos.
Junta apolínea
Al resolver el problema de Apolonio repetidamente para encontrar el círculo inscrito, los intersticios entre círculos mutuamente tangenciales se pueden llenar arbitrariamente finamente, formando una junta apolínea , también conocida como empaquetadura de Leibniz o empaquetadura de Apolínea . [2] Esta junta es un fractal , es auto-similar y tiene una dimensión d que no se conoce exactamente pero es aproximadamente 1.3, [3] que es más alta que la de una curva regular (o rectificable ) ( d = 1) pero menor que la de un avión ( d = 2). La junta de Apolínea fue descrita por primera vez por Gottfried Leibniz en el siglo XVII y es un precursor curvo del triángulo de Sierpiński del siglo XX . [4] La junta apolínea también tiene conexiones profundas con otros campos de las matemáticas; por ejemplo, es el conjunto límite de grupos kleinianos ; [5] y ver también el teorema del empaquetamiento circular .
Puntos isodinámicos de un triángulo
Los círculos de Apolonio también pueden denotar tres círculos especiales definido por un triángulo arbitrario . El círculo se define como el círculo único que pasa por el vértice del triángulo que mantiene una relación constante de distancias a los otros dos vértices y (cf. la definición de Apolonio del círculo anterior). Del mismo modo, el círculo se define como el círculo único que pasa por el vértice del triángulo que mantiene una relación constante de distancias a los otros dos vértices y y así sucesivamente para el círculo .
Los tres círculos cortan el círculo circunferencial del triángulo ortogonalmente . Los tres círculos pasan por dos puntos, que se conocen como puntos isodinámicos. y del triángulo. La línea que conecta estos puntos de intersección comunes es el eje radical de los tres círculos. Los dos puntos isodinámicos son inversos entre sí en relación con la circunferencia del triángulo.
Los centros de estos tres círculos caen en una sola línea (la línea de Lemoine ). Esta línea es perpendicular al eje radical, que es la línea determinada por los puntos isodinámicos.
Ver también
- Punto de Apolonio
Referencias
- ^ Weintraub, Isaac; García, Eloy; Pachter, Meir (2020). "Estrategia de orientación óptima para la defensa de un objetivo no maniobrable en 3 dimensiones" . Teoría y aplicaciones del control de Iet . 14 (11): 1531-1538. doi : 10.1049 / iet-cta.2019.0541 .
- ^ Kasner, E .; Supnick, F. (1943). "El apolíneo apolíneo de círculos" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de EE . UU . 29 (11): 378–384. doi : 10.1073 / pnas.29.11.378 . PMC 1078636 . PMID 16588629 .
- ^ Boyd, DW (1973). "Límites mejorados para las constantes de empaquetado de disco". Aequationes Mathematicae . 9 : 99-106. doi : 10.1007 / BF01838194 .
Boyd, DW (1973). "La dimensión del conjunto residual del embalaje apolíneo". Mathematika . 20 (2): 170-174. doi : 10.1112 / S0025579300004745 .
McMullen, Curtis, T. (1998). "Dimensión de Hausdorff y dinámica conforme III: Cálculo de dimensión" (PDF) . Revista Estadounidense de Matemáticas . 120 (4): 691–721. doi : 10.1353 / ajm.1998.0031 . - ^ Mandelbrot, B. (1983). La geometría fractal de la naturaleza . Nueva York: WH Freeman. pag. 170 . ISBN 978-0-7167-1186-5.
Aste, T. y Weaire, D. (2008). La búsqueda del embalaje perfecto (2ª ed.). Nueva York: Taylor y Francis. pp. 131 -138. ISBN 978-1-4200-6817-7.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ) - ^ Mumford, D. , Series, C. y Wright, D. (2002). Perlas de Indra: la visión de Felix Klein . Cambridge: Cambridge University Press. pp. 196 -223. ISBN 0-521-35253-3.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
Bibliografía
- Ogilvy, CS (1990) Excursiones en geometría , Dover. ISBN 0-486-26530-7 .
- Johnson, RA (1960) Geometría euclidiana avanzada , Dover.