En matemáticas, una aproximante de Padé es la "mejor" aproximación de una función por una función racional de orden dado; bajo esta técnica, la serie de potencias de la aproximante concuerda con la serie de potencias de la función que está aproximando. La técnica fue desarrollada alrededor de 1890 por Henri Padé , pero se remonta a Georg Frobenius , quien introdujo la idea e investigó las características de las aproximaciones racionales de series de potencias.
El aproximado de Padé a menudo proporciona una mejor aproximación de la función que truncar su serie de Taylor , y aún puede funcionar donde la serie de Taylor no converge . Por estas razones, las aproximaciones de Padé se utilizan ampliamente en cálculos por computadora . También se han utilizado como funciones auxiliares , en la aproximación diofántica y la teoría de números trascendental , aunque para obtener resultados precisos los métodos ad hoc , en cierto sentido inspirados en la teoría de Padé, suelen reemplazarlos. Dado que la aproximación de Padé es una función racional, un punto singular artificial puede ocurrir como una aproximación, pero esto puede evitarse mediante el análisis de Borel-Padé .
La razón por la cual la aproximación de Padé tiende a ser una mejor aproximación que una serie de Taylor truncada es clara desde el punto de vista del método de suma multipunto. Dado que hay muchos casos en los que la expansión asintótica en el infinito se vuelve 0 o una constante, se puede interpretar como la "aproximación de Padé incompleta de dos puntos", en la que la aproximación de Padé ordinaria mejora el método de truncar una serie de Taylor .
Definición
Dada una función f y dos enteros m ≥ 0 y n ≥ 1, la aproximante de Padé de orden [ m / n ] es la función racional
que concuerda con f ( x ) al orden más alto posible, que asciende a
De manera equivalente, si se amplía en una serie de Maclaurin ( serie de Taylor en 0), su primera los términos cancelarían el primero términos de , y como tal
La aproximación de padé es único para dado m y n , es decir, los coeficientesse puede determinar de forma única. Es por razones de unicidad que el término de orden cero en el denominador de fue elegido para ser 1, de lo contrario, el numerador y denominador de habría sido único solo hasta la multiplicación por una constante.
El aproximado de Padé definido anteriormente también se denota como
Cálculo
Para una x dada , las aproximaciones de Padé se pueden calcular mediante el algoritmo épsilon de Wynn [1] y también otras transformaciones de secuencia [2] a partir de las sumas parciales.
de la serie de Taylor de f , es decir, tenemos
f también puede ser una serie de potencias formales y, por lo tanto, las aproximaciones de Padé también se pueden aplicar a la suma de series divergentes .
Una forma de calcular un aproximado de Padé es mediante el algoritmo euclidiano extendido para el máximo común divisor polinomial . [3] La relación
es equivalente a la existencia de algún factor tal que
que se puede interpretar como la identidad de Bézout de un paso en el cálculo del máximo común divisor extendido de los polinomios y .
Para recapitular: para calcular el máximo común divisor de dos polinomios p y q , se calcula mediante división larga la secuencia restante
k = 1, 2, 3, ... con, Hasta que . Para las identidades de Bézout del máximo común divisor extendido, se calculan simultáneamente las dos secuencias polinómicas
para obtener en cada paso la identidad Bézout
Para la aproximante [ m / n ], se lleva a cabo el algoritmo euclidiano extendido para
y lo detiene en el último instante que tiene grado n o más pequeño.
Entonces los polinomios dar la aproximación de [ m / n ] Padé. Si se calcularan todos los pasos del cálculo del máximo común divisor extendido, se obtendría una anti-diagonal de la tabla Pade .
Función zeta de Riemann – Padé
Para estudiar la reanudación de una serie divergente , digamos
puede ser útil introducir la función Padé o simplemente zeta racional como
dónde
es la aproximación de Padé de orden ( m , n ) de la función f ( x ). El valor de regularización zeta en s = 0 se toma como la suma de las series divergentes.
La ecuación funcional para esta función de Padé zeta es
donde a j y b j son los coeficientes en la aproximación de Padé. El subíndice '0' significa que el Padé es de orden [0/0] y, por tanto, tenemos la función zeta de Riemann.
Método DLog Padé
Las aproximaciones de Padé se pueden utilizar para extraer puntos críticos y exponentes de funciones. En termodinámica, si una función f ( x ) se comporta de forma no analítica cerca de un punto x = r como, se llama a x = r un punto crítico ya p el exponente crítico asociado de f . Si se conocen suficientes términos de la expansión en serie de f , se pueden extraer aproximadamente los puntos críticos y los exponentes críticos de los polos y residuos de las aproximantes de Padé, respectivamente. dónde .
Generalizaciones
Un aproximado de Padé se aproxima a una función en una variable. Una aproximante en dos variables se llama aproximante de Chisholm (después de JSR Chisholm ), [4] en múltiples variables una aproximante de Canterbury (después de Graves-Morris en la Universidad de Kent). [5]
Dos puntos Pade aproximado
La aproximación convencional de Padé está determinada para reproducir la expansión de Maclaurin hasta un orden dado. Por lo tanto, la aproximación al valor aparte del punto de expansión puede ser pobre. Esto se evita con la aproximación de Padé de 2 puntos, que es un tipo de método de suma multipunto. [6] En, considere un caso en el que una función que se expresa por comportamiento asintótico ,
Además de eso, en , comportamiento asintótico adicional
Seleccionando el comportamiento principal de , funciones aproximadas de tal manera que se puede encontrar en varios casos la reproducción simultánea del comportamiento asintótico mediante el desarrollo de la aproximación de Padé. Como resultado, en el puntodonde la precisión de la aproximación puede ser la peor en la aproximación Pade ordinaria, se garantiza una buena precisión de la aproximación Pade de 2 puntos. Por lo tanto, la aproximante Pade de 2 puntos puede ser un método que proporciona una buena aproximación global para.
En los casos que se expresan mediante polinomios o series de potencias negativas, función exponencial, función logarítmica o , podemos aplicar una aproximación de Padé de 2 puntos a . Existe un método para usar esto para dar una solución aproximada de una ecuación diferencial con alta precisión. [6] Además, para los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, el primer cero no trivial puede estimarse con cierta precisión a partir del comportamiento asintótico en el eje real. [6]
Pade multipunto aproximado
Una extensión adicional de la aproximante Pade de 2 puntos es la aproximante Pade multipunto. [6] Este método trata los puntos de singularidad. de una función que se va a aproximar. Considere los casos en que las singularidades de una función se expresan con index por
Además del aproximado Pade de 2 puntos que incluye información en , este método se aproxima a reducir la propiedad de divergir en . Como resultado, dado que se captura la información de la peculiaridad de la función, la aproximación de una función se puede realizar con mayor precisión.
Ejemplos de
- pecado ( x )
- exp ( x )
- Jacobi
- Bessel J (5, x )
- erf ( x )
- Fresnel
Ver también
Referencias
- ^ Teorema 1 en Wynn, Peter (marzo de 1966), "Sobre la convergencia y estabilidad del algoritmo Epsilon", SIAM Journal on Numerical Analysis , 3 (1): 91-122, Bibcode : 1966SJNA .... 3 ... 91W , doi : 10.1137 / 0703007 , JSTOR 2949688
- ^ Brezenski, C. (1996), "Algoritmos de extrapolación y aproximaciones de Padé", Matemáticas numéricas aplicadas , 20 (3): 299–318, CiteSeerX 10.1.1.20.9528 , doi : 10.1016 / 0168-9274 (95) 00110-7
- ^ Problema 5.2by algoritmo 5.2 (p. 46) en Bini, Dario; Pan, Victor (1994), Cálculos polinomiales y matriciales - Volumen 1. Algoritmos fundamentales , Progreso en informática teórica, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3786-6
- ^ Chisholm, JSR (1973). "Aproximaciones racionales definidas a partir de series de doble potencia" . Matemáticas de la Computación . 27 (124): 841–848. doi : 10.1090 / S0025-5718-1973-0382928-6 . ISSN 0025-5718 .
- ^ Graves-Morris, PR; Roberts, DE (1975). "Cálculo de aproximaciones de Canterbury". Comunicaciones de Física Informática . 10 (4): 234–244. Código bibliográfico : 1975CoPhC..10..234G . doi : 10.1016 / 0010-4655 (75) 90068-5 .
- ^ a b c d Ueoka, Yoshiki. Introducción al método de suma multipunto Matemática aplicada moderna que conecta aquí y el infinito más allá: desde la expansión de Taylor hasta la aplicación de ecuaciones diferenciales .
Literatura
- Baker, GA, Jr .; y Graves-Morris, P. Padé Approximants . Cambridge UP, 1996
- Baker, GA, Jr. Padé aproximado , Scholarpedia , 7 (6): 9756.
- Brezinski, C .; y Redivo Zaglia, M. Métodos de extrapolación. Teoría y práctica . Holanda Septentrional, 1991
- Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 5.12 Padé Approximants" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
- Frobenius, G .; Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen , [Diario für die reine und angewandte Mathematik (Diario de Crelle)]. Volumen 1881, Número 90, Páginas 1–17
- Gragg, WB; La tabla de Pade y su relación con ciertos algoritmos de análisis numérico [Revisión SIAM], vol. 14, núm. 1, 1972, págs. 1-62.
- Padé, H .; Sur la répresentation Approchée d'une fonction par des fracciones rationelles , Tesis, [Ann. \ 'Ecole Nor. (3), 9, 1892, págs. 1-93, suplemento.
- Wynn, P. (1966), "Sobre sistemas de recursiones que se obtienen entre los cocientes de la tabla Padé", Numerische Mathematik , 8 (3): 264-269, doi : 10.1007 / BF02162562 , S2CID 123789548
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Padé Approximant" . MathWorld .
- Aproximantes de Padé , Oleksandr Pavlyk, Proyecto de demostraciones Wolfram .
- Libro breve de análisis de datos: Aproximación de Pade , Laboratorio europeo Rudolf K. Bock de Física de partículas , CERN .
- De onda sinusoidal , Scott Dattalo, accedió por última vez 2010-11-11.
- Función MATLAB para la aproximación Pade de modelos con retrasos de tiempo.