En matemáticas , las funciones auxiliares son una construcción importante en la teoría de números trascendental . Son funciones que aparecen en la mayoría de las demostraciones en esta área de las matemáticas y que tienen propiedades específicas y deseables, como tomar el valor cero para muchos argumentos, o tener un cero de orden superior en algún momento. [1]
Definición
Las funciones auxiliares no son un tipo de función rigurosamente definida, más bien son funciones que se construyen explícitamente o al menos se demuestra que existen y que proporcionan una contradicción a alguna hipótesis asumida, o prueban de otra manera el resultado en cuestión. La creación de una función durante el curso de una demostración para probar el resultado no es una técnica exclusiva de la teoría de la trascendencia, pero el término "función auxiliar" generalmente se refiere a las funciones creadas en esta área.
Funciones explícitas
El criterio de trascendencia de Liouville
Debido a la convención de nomenclatura mencionada anteriormente, las funciones auxiliares se pueden remontar a su origen simplemente mirando los primeros resultados en la teoría de la trascendencia. Uno de estos primeros resultados fue la prueba de Liouville de que los números trascendentales existen cuando demostró que los llamados números de Liouville eran trascendentales. [2] Lo hizo descubriendo un criterio de trascendencia que satisfacían estos números. Para derivar este criterio, comenzó con un número algebraico general α y encontró alguna propiedad que este número necesariamente satisfaría. La función auxiliar que usó en el curso de probar este criterio fue simplemente el polinomio mínimo de α, que es el polinomio irreducible f con coeficientes enteros tales que f (α) = 0. Esta función se puede usar para estimar qué tan bien el número algebraico α puede estimarse mediante números racionales p / q . Específicamente si α tiene un grado d al menos dos, entonces demostró que
y también, usando el teorema del valor medio , que hay alguna constante que depende de α, digamos c (α), tal que
La combinación de estos resultados da una propiedad que el número algebraico debe satisfacer; por tanto, cualquier número que no satisfaga este criterio debe ser trascendental.
La función auxiliar en el trabajo de Liouville es muy simple, simplemente un polinomio que se desvanece en un número algebraico dado. Este tipo de propiedad suele ser la que satisfacen las funciones auxiliares. O desaparecen o se vuelven muy pequeños en puntos particulares, lo que generalmente se combina con la suposición de que no desaparecen o no pueden ser demasiado pequeños para obtener un resultado.
Prueba de Fourier de la irracionalidad de e
Otra simple ocurrencia temprana está en la prueba de Fourier de la irracionalidad de e , [3] aunque la notación usada generalmente disfraza este hecho. La prueba de Fourier utilizó la serie de potencias de la función exponencial :
Al truncar esta serie de potencias después de, digamos, N + 1 términos, obtenemos un polinomio con coeficientes racionales de grado N que en cierto sentido está "cerca" de la función e x . Específicamente si miramos la función auxiliar definida por el resto:
entonces esta función, un polinomio exponencial, debe tomar valores pequeños para x cercanos a cero. Si e es un número racional, al dejar x = 1 en la fórmula anterior, vemos que R (1) también es un número racional. Sin embargo, Fourier demostró que R (1) no podía ser racional eliminando todos los posibles denominadores. Así correo no puede ser racional.
La prueba de Hermite de la irracionalidad de e r
Hermite amplió el trabajo de Fourier aproximando la función e x no con un polinomio sino con una función racional , que es un cociente de dos polinomios. En particular, eligió los polinomios A ( x ) y B ( x ) de modo que la función auxiliar R definida por
podría hacerse tan pequeño como quisiera alrededor de x = 0. Pero si e r fuera racional, entonces R ( r ) tendría que ser racional con un denominador particular, pero Hermite podría hacer que R ( r ) sea demasiado pequeño para tener tal denominador, de ahí una contradicción.
La prueba de Hermite de la trascendencia de e
Para demostrar que e era de hecho trascendental, Hermite llevó su trabajo un paso más allá al aproximar no solo la función e x , sino también las funciones e kx para enteros k = 1, ..., m , donde asumió que e era algebraica con grado m . Aproximando e kx por funciones racionales con coeficientes enteros y con el mismo denominador, digamos A k ( x ) / B ( x ), podría definir funciones auxiliares R k ( x ) por
Para su contradicción, Hermite supuso que e satisfacía la ecuación polinomial con coeficientes enteros a 0 + a 1 e + ... + a m e m = 0. Al multiplicar esta expresión por B (1) notó que implicaba
El lado derecho es un número entero y, por tanto, estimando las funciones auxiliares y probando que 0 <| R | <1 derivó la contradicción necesaria.
Funciones auxiliares del principio de casillero
Todas las funciones auxiliares esbozadas anteriormente se pueden calcular y trabajar explícitamente. Un avance de Axel Thue y Carl Ludwig Siegel en el siglo XX fue la comprensión de que estas funciones no necesariamente necesitan ser conocidas explícitamente; puede ser suficiente saber que existen y que tienen ciertas propiedades. Usando el principio del casillero , Thue, y más tarde Siegel, lograron probar la existencia de funciones auxiliares que, por ejemplo, tomaban el valor cero en muchos puntos diferentes, o tomaban ceros de orden superior en una colección más pequeña de puntos. Además, demostraron que era posible construir tales funciones sin hacer que las funciones fueran demasiado grandes. [4] Sus funciones auxiliares no eran funciones explícitas, entonces, pero al saber que existía una determinada función con ciertas propiedades, utilizaron sus propiedades para simplificar las pruebas de trascendencia del siglo XIX y dar varios resultados nuevos. [5]
Este método fue recogido y utilizado por varios otros matemáticos, incluidos Alexander Gelfond y Theodor Schneider, que lo utilizaron de forma independiente para demostrar el teorema de Gelfond-Schneider . [6] Alan Baker también usó el método en la década de 1960 para su trabajo sobre formas lineales en logaritmos y, en última instancia, el teorema de Baker . [7] A continuación se describe otro ejemplo del uso de este método de la década de 1960.
Teorema del polinomio auxiliar
Sea β igual a la raíz cúbica de b / a en la ecuación ax 3 + bx 3 = cy suponga que m es un número entero que satisface m + 1> 2 n / 3 ≥ m ≥ 3 donde n es un número entero positivo.
Entonces existe
tal que
El teorema del polinomio auxiliar establece
Un teorema de Lang
En la década de 1960, Serge Lang demostró un resultado utilizando esta forma no explícita de funciones auxiliares. El teorema implica los teoremas de Hermite-Lindemann y Gelfond-Schneider . [8] El teorema trata con un campo numérico K y funciones meromórficas f 1 , ..., f N de orden como máximo ρ , al menos dos de las cuales son algebraicamente independientes, y tales que si diferenciamos cualquiera de estas funciones entonces la el resultado es un polinomio en todas las funciones. Bajo estas hipótesis, el teorema establece que si hay m números complejos distintos ω 1 , ..., ω m tales que f i (ω j ) está en K para todas las combinaciones de i y j , entonces m está acotado por
Para probar el resultado, Lang tomó dos funciones algebraicamente independientes de f 1 , ..., f N , digamos f y g , y luego creó una función auxiliar que era simplemente un polinomio F en f y g . Esta función auxiliar no se pudo establecer explícitamente ya que f y g no se conocen explícitamente. Pero usando el lema de Siegel, Lang mostró cómo hacer F de tal manera que desapareciera a un orden alto en los m números complejos ω 1 , ..., ω m . Debido a esta desaparición de alto orden, se puede demostrar que una derivada de alto orden de F toma un valor de tamaño pequeño uno de los ω i s, "tamaño" aquí se refiere a una propiedad algebraica de un número. Usando el principio de módulo máximo, Lang también encontró una forma separada de estimar los valores absolutos de las derivadas de F , y usando resultados estándar que comparan el tamaño de un número y su valor absoluto, mostró que estas estimaciones se contradecían a menos que se cumpliera el límite declarado de m .
Determinantes de interpolación
Después de la miríada de éxitos obtenidos mediante el uso de funciones auxiliares existentes pero no explícitas, en la década de 1990 Michel Laurent introdujo la idea de los determinantes de interpolación. [9] Estas son alternativas - determinantes de matrices de la forma
donde φ i son un conjunto de funciones interpoladas en un conjunto de puntos ζ j . Dado que un determinante es solo un polinomio en las entradas de una matriz, estas funciones auxiliares sucumben al estudio por medios analíticos. Un problema con el método era la necesidad de elegir una base antes de poder trabajar con la matriz. Un desarrollo de Jean-Benoît Bost eliminó este problema con el uso de la teoría de Arakelov , [10] y la investigación en esta área está en curso. El siguiente ejemplo da una idea del sabor de este enfoque.
Una demostración del teorema de Hermite-Lindemann
Una de las aplicaciones más simples de este método es una prueba de la versión real del teorema de Hermite-Lindemann . Es decir, si α es un número algebraico real distinto de cero, entonces e α es trascendental. Primero, dejamos que k sea un número natural yn un gran múltiplo de k . El determinante de interpolación considerado es el determinante Δ de la matriz n 4 × n 4
Las filas de esta matriz están indexadas por 1 ≤ i 1 ≤ n 4 / k y 1 ≤ i 2 ≤ k , mientras que las columnas están indexadas por 1 ≤ j 1 ≤ n 3 y 1 ≤ j 2 ≤ n . Entonces, las funciones en nuestra matriz son monomios en x y e x y sus derivadas, y estamos interpolando en los k puntos 0, α, 2α, ..., ( k - 1) α. Suponiendo que e α es algebraico, podemos formar el campo numérico Q (α, e α ) de grado m sobre Q , y luego multiplicar Δ por un denominador adecuado , así como todas sus imágenes bajo las incrustaciones del campo Q (α, e α ) en C . Por razones algebraicas, este producto es necesariamente un número entero y, utilizando argumentos relacionados con los wronskianos, se puede demostrar que no es cero, por lo que su valor absoluto es un número entero Ω ≥ 1.
Usando una versión del teorema del valor medio para matrices, también es posible obtener un límite analítico en Ω y, de hecho, usando la notación O grande tenemos
El número m está fijado por el grado del campo Q (α, e α ), pero k es el número de puntos en los que estamos interpolando, por lo que podemos aumentarlo a voluntad. Y una vez k > 2 ( m + 1) / 3 tendremos Ω → 0, contradiciendo eventualmente la condición establecida Ω ≥ 1. Por tanto, e α no puede ser algebraica después de todo. [11]
Notas
- ^ Waldschmidt (2008).
- ↑ Liouville (1844).
- ^ Hermite (1873).
- ^ Thue (1977) y Siegel (1929).
- ↑ Siegel (1932).
- ^ Gel'fond (1934) y Schneider (1934).
- ^ Baker y Wüstholz (2007).
- ^ Lang (1966).
- ^ Laurent (1991).
- ^ Bost (1996).
- ^ Adaptado de Pila (1993).
Referencias
- Waldschmidt, Michel. "Una introducción a los métodos de irracionalidad y trascendencia" (PDF) .
- Liouville, Joseph (1844). "Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques". J. Math. Pures Appl . 18 : 883–885 y 910–911.
- Hermite, Charles (1873). "Sur la fonction exponentielle". CR Acad. Sci. París . 77 .
- Thue, Axel (1977). Artículos matemáticos seleccionados . Oslo: Universitetsforlaget.
- Siegel, Carl Ludwig (1929). "Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen". Abhandlungen Akad. Berlín . 1 : 70.
- Siegel, Carl Ludwig (1932). "Über die Perioden elliptischer Funktionen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 167 : 62–69. doi : 10.1515 / crll.1932.167.62 .
- Gel'fond, AO (1934). "Sur le septième Problème de D. Hilbert". Izv. Akad. Nauk SSSR . 7 : 623–630.
- Schneider, Theodor (1934). "Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen". J. reine angew. Matemáticas . 172 : 65–69.
- Baker, Alan ; Wüstholz, G. (2007), "Formas logarítmicas y geometría diofántica", Nuevas monografías matemáticas , Cambridge University Press, 9 , p. 198
- Lang, Serge (1966). Introducción a los números trascendentales . Addison – Wesley Publishing Company.
- Laurent, Michel (1991). "Sur quelques résultats récents de trascendance". Astérisque . 198-200: 209-230.
- Bost, Jean-Benoît (1996). "Périodes et isogénies des variétés abéliennes sur les corps de nombres (d'après D. Masser et G. Wüstholz)". Astérisque . 237 : 795.
- Pila, Jonathan (1993). "Postulación geométrica y aritmética de la función exponencial" . J. Austral. Matemáticas. Soc . A. 54 : 111-127. doi : 10.1017 / s1446788700037022 .