En un análisis complejo , una tabla de Padé es una matriz, posiblemente de extensión infinita, de las aproximaciones racionales de Padé.
- R m , n
a una serie de potencia formal compleja dada . A menudo se puede mostrar que ciertas secuencias de aproximaciones que se encuentran dentro de una tabla de Padé se corresponden con convergentes sucesivos de una representación de fracción continua de una función holomórfica o meromórfica .
Historia
Aunque los primeros matemáticos habían obtenido resultados esporádicos que incluían secuencias de aproximaciones racionales a funciones trascendentales , Frobenius (en 1881) fue aparentemente el primero en organizar las aproximaciones en forma de tabla. Henri Padé amplió aún más esta noción en su tesis doctoral Sur la representation Approchee d'une fonction par des fracciones rationelles , en 1892. Durante los 16 años siguientes, Padé publicó 28 artículos adicionales que exploraban las propiedades de su tabla y relacionaba la tabla con la analítica. fracciones. [1]
HS Wall y Oskar Perron , quienes estaban interesados principalmente en las conexiones entre las tablas y ciertas clases de fracciones continuas, revivieron el interés moderno en las tablas de Padé . Daniel Shanks y Peter Wynn publicaron artículos influyentes alrededor de 1955, y WB Gragg obtuvo resultados de convergencia de gran alcance durante los años setenta. Más recientemente, el uso generalizado de computadoras electrónicas ha estimulado un gran interés adicional en el tema. [2]
Notación
Una función f ( z ) está representada por una serie de potencias formales:
donde c 0 ≠ 0, por convención. La ( m , n ) ésima entrada [3] R m, n en la tabla de Padé para f ( z ) viene dada por
donde P m ( z ) y Q n ( z ) son los polinomios de grados no más de m y n , respectivamente. Los coeficientes { a i } y { b i } siempre se pueden encontrar considerando la expresión
e igualar coeficientes de potencias similares de z hasta m + n . Para los coeficientes de potencias m + 1 am + n , el lado derecho es 0 y el sistema resultante de ecuaciones lineales contiene un sistema homogéneo de n ecuaciones en las n + 1 incógnitas b i , por lo que admite infinitas soluciones cada una. de los cuales determina un posible Q n . Entonces, P m se encuentra fácilmente al igualar los primeros m coeficientes de la ecuación anterior. Sin embargo, se puede demostrar que, debido a la cancelación, las funciones racionales generadas R m, n son todas iguales, de modo que la entrada ( m , n ) ésima en la tabla Padé es única. [2] Alternativamente, podemos requerir que b 0 = 1, poniendo así la tabla en una forma estándar.
Aunque las entradas en la tabla de Padé siempre se pueden generar resolviendo este sistema de ecuaciones, ese enfoque es computacionalmente costoso. El uso de la tabla Padé se ha extendido a funciones meromórficas mediante métodos más nuevos que ahorran tiempo, como el algoritmo épsilon. [4]
El teorema del bloque y las aproximaciones normales
Debido a la forma en que se construye el aproximado ( m , n ), la diferencia
- Q norte ( z ) f ( z ) - P m ( z )
es una serie de potencias cuyo primer término es de grado no menor a
- m + n + 1.
Si el primer término de esa diferencia es de grado
- m + n + r + 1, r > 0,
entonces la función racional R m, n ocupa
- ( r + 1) 2
celdas en la tabla Padé, desde la posición ( m , n ) hasta la posición ( m + r , n + r ), inclusive. En otras palabras, si la misma función racional aparece más de una vez en la tabla, esa función racional ocupa un bloque cuadrado de celdas dentro de la tabla. Este resultado se conoce como el teorema del bloque .
Si una función racional en particular ocurre exactamente una vez en la tabla de Padé, se denomina aproximante normal af ( z ). Si cada entrada en la tabla Padé completa es normal, se dice que la tabla en sí es normal. Las aproximaciones normales de Padé se pueden caracterizar utilizando determinantes de los coeficientes c n en la expansión de la serie de Taylor de f ( z ), como sigue. Defina el determinante ( m , n ) ésimo por
con D m , 0 = 1, D m , 1 = c m , y c k = 0 para k <0. Entonces
- la ( m , n ) ésima aproximada af ( z ) es normal si y solo si ninguno de los cuatro determinantes D m , n −1 , D m, n , D m +1, n , y D m +1, n +1 desaparecer; y
- la tabla de Padé es normal si y solo si ninguno de los determinantes D m, n es igual a cero (nótese en particular que esto significa que ninguno de los coeficientes c k en la representación en serie de f ( z ) puede ser cero). [5]
Conexión con fracciones continuas
Una de las formas más importantes en las que puede aparecer una fracción continua analítica es como una fracción continua regular , que es una fracción continua de la forma
donde a i ≠ 0 son constantes complejas yz es una variable compleja.
Existe una conexión íntima entre las fracciones continuas regulares y las tablas de Padé con aproximaciones normales a lo largo de la diagonal principal: la secuencia de "escalones" de las aproximaciones de Padé R 0,0 , R 1,0 , R 1,1 , R 2,1 , R 2 , 2 ,… es normal si y solo si esa secuencia coincide con los sucesivos convergentes de una fracción continua regular. En otras palabras, si la tabla de Padé es normal a lo largo de la diagonal principal, se puede usar para construir una fracción continua regular, y si existe una representación de fracción continua regular para la función f ( z ), entonces la diagonal principal de la tabla de Padé que representa f ( z ) es normal. [2]
Un ejemplo: la función exponencial
Aquí hay un ejemplo de una tabla de Padé, para la función exponencial .
norte metro | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
0 | |||||
1 | |||||
2 | |||||
3 | |||||
4 |
Varias características son inmediatamente evidentes.
- La primera columna de la tabla consta de los sucesivos truncamientos de la serie de Taylor para e z .
- De manera similar, la primera fila contiene los recíprocos de truncamientos sucesivos de la expansión en serie de e −z .
- Las aproximaciones R m, n y R n, m son bastante simétricas: los numeradores y denominadores se intercambian y los patrones de los signos más y menos son diferentes, pero los mismos coeficientes aparecen en ambas aproximaciones. De hecho, usando elnotación de series hipergeométricas generalizadas ,
- Los cálculos que involucran a R n, n (en la diagonal principal) se pueden hacer de manera bastante eficiente. Por ejemplo, R 3,3 reproduce la serie de potencias de la función exponencial perfectamente a través de 1 / 720 z 6 , pero debido a la simetría de los dos polinomios cúbicos, un algoritmo de evaluación muy rápida se puede diseñar.
El procedimiento utilizado para derivar la fracción continua de Gauss se puede aplicar a una cierta serie hipergeométrica confluente para derivar la siguiente expansión de la fracción C para la función exponencial, válida en todo el plano complejo:
Aplicando las fórmulas de recurrencia fundamental se puede verificar fácilmente que los sucesivos convergentes de esta fracción C son la secuencia escalonada de las aproximaciones de Padé R 0,0 , R 1,0 , R 1,1 ,… En este caso particular, una continuación estrechamente relacionada La fracción se puede obtener a partir de la identidad.
esa fracción continua se ve así:
Los sucesivos convergentes de esta fracción también aparecen en la tabla de Padé, y forman la secuencia R 0,0 , R 0,1 , R 1,1 , R 1,2 , R 2,2 ,…
Generalizaciones
Una serie formal de Newton L tiene la forma
donde la secuencia {β k } de puntos en el plano complejo se conoce como el conjunto de puntos de interpolación . Se puede formar una secuencia de aproximaciones racionales R m, n para tal serie L de una manera completamente análoga al procedimiento descrito anteriormente, y las aproximaciones se pueden disponer en una tabla de Newton-Padé . Se ha demostrado [6] que algunas secuencias de "escalera" en la tabla de Newton-Padé se corresponden con los sucesivos convergentes de una fracción continua de tipo Thiele, que es de la forma
Los matemáticos también han construido tablas de Padé de dos puntos considerando dos series, una en potencias de z , la otra en potencias de 1 / z , que representan alternativamente la función f ( z ) en una vecindad de cero y en una vecindad de infinito. [2]
Ver también
Notas
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Padé table" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ↑ a b c d Jones y Thron, 1980.
- ^ Seconsidera que la entrada( m , n ) se encuentra en la fila my la columna n , y la numeración de las filas y columnas comienza en (0, 0).
- ^ Wynn, Peter (abril de 1956). "En un dispositivo para computar la transformación e m ( S n )". Tablas matemáticas y otras ayudas a la computación . Sociedad Matemática Estadounidense. 10 (54): 91–96. doi : 10.2307 / 2002183 . JSTOR 2002183 .
- ^ Gragg, WB (enero de 1972). "La tabla de Padé y su relación con ciertos algoritmos de análisis numérico" . Revisión SIAM . 14 (1): 1–62. doi : 10.1137 / 1014001 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 2028911 .
- ^ Thiele, TN (1909). Interpolationsrechnung . Leipzig: Teubner. ISBN 1-4297-0249-4.
Referencias
- Jones, William B .; Thron, WJ (1980). Fracciones continuas: teoría y aplicaciones . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. págs. 185-197 . ISBN 0-201-13510-8.
- Wall, SA (1973). Teoría analítica de fracciones continuas . Chelsea Publishing Company. págs. 377–415. ISBN 0-8284-0207-8.
(Esta es una reimpresión del volumen publicado originalmente por D. Van Nostrand Company, Inc., en 1948.)