Regularización de la función Zeta

Método de sumabilidad en física

Renormalización y regularización
Renormalización Grupo de renormalización Esquema on-shell Esquema de resta mínima
Regularización Regularización dimensional Regularización de Pauli-Villars Regularización de celosía Regularización de la función Zeta Teoría de la perturbación causal Regularización de Hadamard Regularización de división de puntos
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En matemáticas y física teórica , la regularización de la función zeta es un tipo de método de regularización o sumabilidad que asigna valores finitos a sumas o productos divergentes y, en particular, se puede utilizar para definir determinantes y trazas de algunos operadores autoadjuntos . La técnica se aplica ahora comúnmente a problemas de física , pero tiene su origen en los intentos de dar significados precisos a las sumas mal condicionadas que aparecen en la teoría de números .

Definición

Hay varios métodos de suma diferentes llamados regularización de función zeta para definir la suma de una serie posiblemente divergente a ₁ + a ₂ + ....

Un método es definir su suma zeta regularizada como ζ _A (−1) si esto está definido, donde la función zeta se define para Re ( s ) grandes por

${\displaystyle \zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\cdots }$

si esta suma converge, y por continuación analítica en otra parte.

En el caso en que a _n = n , la función zeta es la función zeta ordinaria de Riemann . Euler utilizó este método para "sumar" la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ... a ζ (−1) = −1/12.

Hawking (1977) mostró que en un espacio plano, en el que se conocen los valores propios de los laplacianos, la función zeta correspondiente a la función de partición se puede calcular explícitamente. Considere un campo escalar φ contenido en una caja grande de volumen V en un espacio-tiempo plano a la temperatura T  =  β ⁻¹ . La función de partición está definida por una ruta integral sobre todos los campos φ en el espacio euclidiano obtenido al poner τ  =  it que son cero en las paredes de la caja y que son periódicas en τ con período β. En esta situación, a partir de la función de partición, calcula la energía, la entropía y la presión de la radiación del campo  φ . En el caso de los espacios planos, los valores propios que aparecen en las cantidades físicas son generalmente conocidos, mientras que en el caso del espacio curvo no se conocen: en este caso se necesitan métodos asintóticos.

Otro método define el producto infinito posiblemente divergente a ₁ a ₂ .... como exp (−ζ ′ _A (0)). Ray y Singer (1971) utilizaron esto para definir el determinante de un operador autoadjunto positivo A (el laplaciano de una variedad de Riemann en su aplicación) con valores propios a ₁ , a ₂ , ...., y en este caso el zeta La función es formalmente el rastro de A ^{- s} . Minakshisundaram y Pleijel (1949) demostraron que si Aes el laplaciano de una variedad compacta de Riemann, entonces la función zeta de Minakshisundaram-Pleijel converge y tiene una continuación analítica como función meromórfica para todos los números complejos, y Seeley (1967) extendió esto a los operadores pseudo-diferenciales elípticos A en las variedades compactas de Riemann. Entonces, para tales operadores, uno puede definir el determinante usando la regularización de la función zeta. Ver " torsión analítica ".

Hawking (1977) sugirió usar esta idea para evaluar integrales de trayectoria en espaciotiempos curvos. Estudió la regularización de la función zeta para calcular las funciones de partición para el gravitón térmico y los cuantos de la materia en un fondo curvo, como en el horizonte de los agujeros negros y en el fondo de De Sitter, utilizando la relación de la transformación inversa de Mellin con la traza del núcleo de calor. ecuaciones .

Ejemplo

El primer ejemplo en el que está disponible la regularización de la función zeta aparece en el efecto Casimir, que se encuentra en un espacio plano con las contribuciones masivas del campo cuántico en tres dimensiones espaciales. En este caso debemos calcular el valor de la función zeta de Riemann en -3 , que diverge explícitamente. Sin embargo, se puede continuar analíticamente en s = -3 donde se espera que no haya polo, dando así un valor finito a la expresión. Un ejemplo detallado de esta regularización en el trabajo se da en el artículo sobre el ejemplo detallado del efecto Casimir , donde la suma resultante es muy explícitamente la función zeta de Riemann (y donde la continuación analítica aparentemente prestidigitación elimina un infinito aditivo, dejando un número finito físicamente significativo).

Un ejemplo de regularización de la función zeta es el cálculo del valor esperado de vacío de la energía de un campo de partículas en la teoría cuántica de campos . De manera más general, el enfoque de la función zeta se puede utilizar para regularizar todo el tensor de energía-momento en el espacio-tiempo curvo. ^{[1] [2]}

El valor no regulado de la energía viene dado por una suma sobre la energía de punto cero de todos los modos de excitación del vacío:

${\displaystyle \langle 0|T_{00}|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}}$

Aquí, está el componente cero del tensor de energía-momento y se entiende que la suma (que puede ser una integral) se extiende a todos los modos de energía (positivos y negativos) ; el valor absoluto nos recuerda que la energía se considera positiva. Esta suma, tal como está escrita, suele ser infinita ( normalmente es lineal en n). La suma se puede regularizar escribiéndola como${\displaystyle T_{00}}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}|\omega _{n}|^{-s}}$

donde s es algún parámetro, tomado como un número complejo . Para grandes, verdadero s mayor que 4 (por espacio de tres dimensiones), la suma es manifiestamente finito, y por lo tanto a menudo puede evaluarse teóricamente.

La regularización zeta es útil, ya que a menudo se puede utilizar de manera que se conserven las diversas simetrías del sistema físico. La regularización de la función zeta se utiliza en la teoría de campos conforme , la renormalización y en la fijación de la dimensión espacial crítica de la teoría de cuerdas .

Relación con otras regularizaciones

La regularización de la función Zeta es equivalente a la regularización dimensional , ver ^[3] . Sin embargo, la principal ventaja de la regularización zeta es que se puede utilizar siempre que falle la regularización dimensional, por ejemplo, si hay matrices o tensores dentro de los cálculos.${\displaystyle \epsilon _{i,j,k}}$

Relación con la serie de Dirichlet

La regularización de la función zeta da una estructura analítica a cualquier suma sobre una función aritmética f ( n ). Estas sumas se conocen como series de Dirichlet . La forma regularizada

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

convierte las divergencias de la suma en polos simples en el plano s complejo . En cálculos numéricos, la regularización de la función zeta es inapropiada, ya que es extremadamente lenta para converger. Para propósitos numéricos, una suma que converge más rápidamente es la regularización exponencial, dada por

${\displaystyle F(t)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)e^{-tn}.}$

A esto a veces se le llama la transformada Z de f , donde z  = exp (- t ). La estructura analítica de las regularizaciones exponencial y zeta están relacionadas. Al expandir la suma exponencial como una serie de Laurent

${\displaystyle F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}}+{\frac {a_{N-1}}{t^{N-1}}}+\cdots }$

uno encuentra que la serie zeta tiene la estructura

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\frac {a_{N}}{s-N}}+\cdots .}$

La estructura de los reguladores exponenciales y zeta se relacionan mediante la transformada de Mellin . El uno se puede convertir en el otro haciendo uso de la representación integral de la función Gamma :

${\displaystyle \Gamma (s+1)=\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}\,dx}$

que conducen a la identidad

${\displaystyle \Gamma (s+1){\tilde {f}}(s+1)=\int _{0}^{\infty }t^{s}F(t)\,dt}$

relacionando los reguladores exponenciales y zeta, y convirtiendo los polos en el plano s en términos divergentes en la serie de Laurent.

Regularización del grano de calor

La suma

${\displaystyle f(s)=\sum _{n}a_{n}e^{-s|\omega _{n}|}}$

a veces se le llama un grano de calor o una suma regularizada de grano de calor ; este nombre proviene de la idea de que a veces se puede entender como valores propios del núcleo de calor . En matemáticas, dicha suma se conoce como serie de Dirichlet generalizada ; su uso para promediar se conoce como media abeliana . Está estrechamente relacionado con la transformada de Laplace-Stieltjes , en el sentido de que${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\alpha (t)}$

donde es una función de paso , con pasos de en . Existen varios teoremas para la convergencia de tal serie. Por ejemplo, según el teorema de Hardy-Littlewood Tauberian, si ^[4]${\displaystyle \alpha (t)}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle t=|\omega _{n}|}$

${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \vert \sum _{k=1}^{n}a_{k}\vert }{|\omega _{n}|}}}$

entonces la serie para converge en el semiplano y es uniformemente convergente en cada subconjunto compacto del semiplano . En casi todas las aplicaciones de la física, uno tiene${\displaystyle f(s)}$${\displaystyle \Re (s)>L}$${\displaystyle \Re (s)>L}$${\displaystyle L=0}$

Historia

Gran parte del trabajo inicial que estableció la convergencia y equivalencia de series regularizadas con los métodos de regularización de función zeta y núcleo de calor fue realizado por GH Hardy y JE Littlewood en 1916 ^[5] y se basa en la aplicación de la integral de Cahen-Mellin . El esfuerzo se hizo con el fin de obtener valores para varias sumas mal definidas y condicionalmente convergentes que aparecen en la teoría de números .

En términos de aplicación como regulador en problemas físicos, antes de Hawking (1977) , J. Stuart Dowker y Raymond Critchley en 1976 propusieron un método de regularización de función zeta para problemas físicos cuánticos. ^[6] Emilio Elizalde y otros también han propuesto un método basado en la regularización zeta para las integrales , aquí hay un regulador y la integral divergente depende de los números en el límite ver renormalización . Además, a diferencia de otras regularizaciones como la regularización dimensional y la regularización analítica, la regularización zeta no tiene contraterminos y solo da resultados finitos.${\displaystyle \int _{a}^{\infty }x^{m-s}dx}$${\displaystyle x^{-s}}$${\displaystyle \zeta (s-m)}$${\displaystyle s\to 0}$

Ver también

• Función generadora
• Fórmula de Perron
• Renormalización
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Torsión analítica
• Suma de Ramanujan
• Función zeta de Minakshisundaram – Pleijel
• Función Zeta (operador)

Referencias

• ^ Tom M. Apostol, "Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números", "Springer-Verlag New York. (Véase el capítulo 8.)"
• ^ A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti y S. Zerbini, "Aspectos analíticos de los campos cuánticos", World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-364-6
• ^ GH Hardy y JE Littlewood, "Contribuciones a la teoría de la función Zeta de Riemann y la teoría de la distribución de los primos",Acta Mathematica,41(1916) pp. 119-196. (Ver, por ejemplo, el teorema 2.12)
• Hawking, SW (1977), "Regularización de la función Zeta de integrales de trayectoria en el espacio-tiempo curvo", Communications in Mathematical Physics , 55 (2): 133–148, Bibcode : 1977CMaPh..55..133H , doi : 10.1007 / BF01626516 , ISSN  0010-3616 , MR  0524257
• ^ V. Moretti, "Enfoque directo de la función z y renormalización del tensor de tensión de un bucle en espaciotiempos curvos,Phys. Rev.D 56, 7797(1997).
• Minakshisundaram, S .; Pleijel, Å. (1949), "Algunas propiedades de las funciones propias del operador de Laplace en variedades de Riemann" , Canadian Journal of Mathematics , 1 (3): 242-256, doi : 10.4153 / CJM-1949-021-5 , ISSN  0008-414X , MR  0031145
• Ray, DB; Singer, IM (1971), " R -torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds", Advances in Mathematics , 7 (2): 145-210, doi : 10.1016 / 0001-8708 (71) 90045-4 , MR  0295381
• "Método de la función zeta para la regularización" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Seeley, RT (1967), "Los poderes complejos de un operador elíptico", en Calderón, Alberto P. (ed.), Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Proceedings of Symposia in Matemáticas puras, 10 , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 288-307, ISBN 978-0-8218-1410-9, MR  0237943
• ^ JS Dowker y R. Critchley, Lagrangiano efectivo y tensor de energía-momento en el espacio de De Sitter,Phys. Rev.D 13, 3224(1976).