Solo se pueden calcular unos pocos términos de una expansión de perturbación , generalmente no más de dos o tres, y casi nunca más de siete. La serie resultante suele ser lentamente convergente o incluso divergente. Sin embargo, esos pocos términos contienen una cantidad notable de información, que el investigador debe hacer todo lo posible por extraer. Este punto de vista ha sido expuesto de manera persuasiva en un delicioso artículo de Shanks (1955), quien muestra varios ejemplos asombrosos, incluidos varios de la mecánica de fluidos .
Milton D. Van Dyke (1975) Métodos de perturbación en mecánica de fluidos , p. 202.
Formulación
Para una secuencia las series
está por determinar. Primero, la suma parcial Se define como:
y forma una nueva secuencia . Siempre que la serie converja, también se acercará al límite como La transformación de Shanks de la secuencia es la nueva secuencia definida por [2] [3]
donde esta secuencia a menudo converge más rápidamente que la secuencia Se puede obtener una mayor aceleración mediante el uso repetido de la transformación de Shanks, calculando etc.
Tenga en cuenta que la transformación no lineal que se usa en la transformación de Shanks es esencialmente la misma que se usa en el proceso delta-cuadrado de Aitken, de modo que, al igual que con el método de Aitken, la expresión más a la derecha endefinición de (es decir ) es más estable numéricamente que la expresión a su izquierda (es decir ). Tanto el método de Aitken como la transformación de Shanks operan en una secuencia, pero la secuencia en la que opera la transformación de Shanks generalmente se considera una secuencia de sumas parciales, aunque cualquier secuencia puede verse como una secuencia de sumas parciales.
Ejemplo
Error absoluto en función de en las sumas parciales y después de aplicar la transformación de Shanks una o varias veces: y La serie utilizada es que tiene la suma exacta
Como ejemplo, considere la serie lentamente convergente [3]
que tiene la suma exacta π ≈ 3,14159265. La suma parcial tiene una precisión de sólo un dígito, mientras que la precisión de seis cifras requiere sumar alrededor de 400.000 términos.
En la siguiente tabla, las sumas parciales , la transformación de Shanks sobre ellos, así como las repetidas transformaciones de Shanks y se dan por hasta 12. La figura de la derecha muestra el error absoluto para las sumas parciales y los resultados de la transformación de Shanks, mostrando claramente la precisión mejorada y la tasa de convergencia.
0
4.00000000
-
-
-
1
2.66666667
3.16666667
-
-
2
3.46666667
3.13333333
3.14210526
-
3
2.89523810
3.14523810
3.14145022
3.14159936
4
3.33968254
3.13968254
3.14164332
3.14159086
5
2.97604618
3.14271284
3.14157129
3.14159323
6
3.28373848
3.14088134
3.14160284
3.14159244
7
3.01707182
3.14207182
3.14158732
3.14159274
8
3.25236593
3.14125482
3.14159566
3.14159261
9
3.04183962
3.14183962
3.14159086
3.14159267
10
3.23231581
3.14140672
3.14159377
3.14159264
11
3.05840277
3.14173610
3.14159192
3.14159266
12
3.21840277
3.14147969
3.14159314
3.14159265
La transformación de Shanks ya tiene una precisión de dos dígitos, mientras que las sumas parciales originales solo establecen la misma precisión en Notablemente, tiene una precisión de seis dígitos, obtenida a partir de transformaciones de Shank repetidas aplicadas a los primeros siete términos Como se dijo antes, solo obtiene una precisión de 6 dígitos después de sumar aproximadamente 400.000 términos.
Motivación
La transformación de Shanks está motivada por la observación de que, para mayores - la suma parcial a menudo se comporta aproximadamente como [2]
con de modo que la secuencia converja transitoriamente al resultado de la serie por Así que para y las respectivas sumas parciales son:
Estas tres ecuaciones contienen tres incógnitas: y Resolviendo para da [2]
En el caso (excepcional) de que el denominador sea igual a cero: entonces para todos
Transformación de Shanks generalizada
La transformación de Shanks generalizada de k -ésimo orden se da como la relación de los determinantes : [4]
con Es la solución de un modelo para el comportamiento de convergencia de las sumas parciales con distintos transitorios:
Este modelo para el comportamiento de convergencia contiene incógnitas. Al evaluar la ecuación anterior en los elementos y resolviendo para Se obtiene la expresión anterior para la transformación de Shanks de k -ésimo orden. La transformación de Shanks generalizada de primer orden es igual a la transformación de Shanks ordinaria:
Nota: El cálculo de determinantes requiere muchas operaciones aritméticas, sin embargo Peter Wynn descubrió un procedimiento de evaluación recursivo llamado algoritmo épsilon que evita calcular los determinantes.
Shanks, D. (1955), "Transformación no lineal de secuencias divergentes y convergentes lentamente", Journal of Mathematics and Physics , 34 : 1–42, doi : 10.1002 / sapm19553411
Schmidt, R. (1941), "Sobre la solución numérica de ecuaciones lineales simultáneas por un método iterativo", Philosophical Magazine , 32 : 369–383
Van Dyke, MD (1975), métodos de perturbación en mecánica de fluidos (edición anotada), Parabolic Press, ISBN 0-915760-01-0
Bender, CM ; Orszag, SA (1999), Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros , Springer, ISBN 0-387-98931-5
Weniger, EJ (1989). "Transformaciones de secuencia no lineal para la aceleración de la convergencia y la suma de series divergentes". Informes de Física Informática . 10 (5–6): 189–371. arXiv : matemáticas.NA / 0306302 . Código Bibliográfico : 1989CoPhR..10..189W . doi : 10.1016 / 0167-7977 (89) 90011-7 .
Claude Brezinski, Michela Redivo-Zaglia y Yousef Saad: "Transformaciones de secuencia de Shanks y aceleración de Anderson", SIAM Rev., Vol.60, no.3, (2018), pp.646–669. doi: 10.1137 / 17M1120725.
MN Senhadji: "En números de condición de la transformación de Shanks", J. Comput. Apl. Matemáticas. vol. 135 (2001), págs. 41-61.
P. Wynn, "Técnicas de aceleración para problemas de matrices y vectores iterados", Matemáticas. Comp. vol. 16 (1962), págs. 301--322.