Transformación de Möbius
En geometría y análisis complejo , una transformación de Möbius del plano complejo es una función racional de la forma
Geométricamente, se puede obtener una transformación de Möbius realizando primero una proyección estereográfica desde el plano a la unidad de dos esferas , rotando y moviendo la esfera a una nueva ubicación y orientación en el espacio, y luego realizando una proyección estereográfica (desde la nueva posición de la esfera ) al avión. [1] Estas transformaciones conservan los ángulos, asignan cada línea recta a una línea o un círculo y asignan cada círculo a una línea o un círculo.
Las transformaciones de Möbius son las transformaciones proyectivas de la línea proyectiva compleja . Forman un grupo llamado grupo de Möbius , que es el grupo lineal proyectivo PGL(2, C ). Junto con sus subgrupos , tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y física.
Las transformaciones de Möbius se nombran en honor a August Ferdinand Möbius ; también se denominan homografías , transformaciones homográficas , transformaciones fraccionarias lineales , transformaciones bilineales , transformaciones lineales fraccionarias o transformaciones de espín (teoría de la relatividad) . [2]
Las transformaciones de Möbius se definen en el plano complejo extendido (es decir, el plano complejo aumentado por el punto en el infinito ).
La proyección estereográfica se identifica con una esfera, que entonces se llama esfera de Riemann ; alternativamente, se puede considerar como la línea proyectiva compleja . Las transformaciones de Möbius son exactamente las aplicaciones conformes biyectivas de la esfera de Riemann a sí misma, es decir, los automorfismos de la esfera de Riemann como una variedad compleja ; alternativamente, son los automorfismos de como una variedad algebraica. Por lo tanto, el conjunto de todas las transformaciones de Möbius forma un grupo bajo composición . Este grupo se denomina grupo de Möbius y, a veces, se denota como .
