Una ecuación diferencial parcial parabólica es un tipo de ecuación diferencial parcial (PDE). Las PDE parabólicas se utilizan para describir una amplia variedad de fenómenos dependientes del tiempo, incluida la conducción de calor , la difusión de partículas y el precio de los instrumentos de inversión derivados .
Definición
Para definir el tipo más simple de PDE parabólico, considere una función de valor real de dos variables reales independientes, y . Una PDE lineal de segundo orden de coeficiente constante para toma la forma
y este PDE se clasifica como parabólico si los coeficientes satisfacen la condición
Por lo general representa la posición unidimensional y representa el tiempo, y el PDE se resuelve sujeto a las condiciones iniciales y de contorno prescritas.
El nombre "parabólico" se usa porque la suposición de los coeficientes es la misma que la condición para la ecuación de geometría analítica para definir una parábola plana .
El ejemplo básico de una PDE parabólica es la ecuación de calor unidimensional ,
dónde es la temperatura en el momento y en la posición a lo largo de una varilla delgada, y es una constante positiva (la difusividad térmica ). El símbolosignifica la derivada parcial de con respecto a la variable tiempo y de manera similar es la segunda derivada parcial con respecto a . Para este ejemplo, juega el papel de en la PDE lineal de segundo orden general: , , y los otros coeficientes son cero.
La ecuación del calor dice, aproximadamente, que la temperatura en un momento y punto dado sube o baja a una tasa proporcional a la diferencia entre la temperatura en ese punto y la temperatura promedio cerca de ese punto. La cantidadmide qué tan lejos está la temperatura de satisfacer la propiedad del valor medio de las funciones armónicas .
El concepto de PDE parabólico se puede generalizar de varias formas. Por ejemplo, el flujo de calor a través de un cuerpo material se rige por la ecuación de calor tridimensional ,
dónde
denota el operador de Laplace que actúa sobre. Esta ecuación es el prototipo de una PDE parabólica multidimensional .
Señalando que es un operador elíptico sugiere una definición más amplia de una PDE parabólica:
dónde es un operador elíptico de segundo orden (lo que implica quedebe ser positivo ; un caso donde se considera a continuación).
Un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para un vector también puede ser parabólico. Por ejemplo, tal sistema está oculto en una ecuación de la forma
si la función con valores de matriz tiene un núcleo de dimensión 1.
Las PDE parabólicas también pueden ser no lineales. Por ejemplo, la ecuación de Fisher es una PDE no lineal que incluye el mismo término de difusión que la ecuación de calor, pero incorpora un término de crecimiento lineal y un término de desintegración no lineal.
Solución
Bajo supuestos amplios, un problema de valor inicial / límite para una PDE parabólica lineal tiene una solución para siempre. La solución, como una función de por un tiempo fijo , es generalmente más suave que los datos iniciales .
Para una PDE parabólica no lineal, una solución de un problema de valor inicial / límite podría explotar en una singularidad dentro de un período de tiempo finito. Puede ser difícil determinar si existe una solución para siempre o comprender las singularidades que surgen. Preguntas tan interesantes surgen en la solución de la conjetura de Poincaré a través del flujo de Ricci . [ cita requerida ]
Ecuación parabólica hacia atrás
Ocasionalmente, uno se encuentra con un PDE parabólico hacia atrás , que toma la forma (tenga en cuenta la ausencia de un signo menos).
Un problema de valor inicial para la ecuación de calor hacia atrás,
es equivalente a un problema de valor final para la ecuación de calor ordinaria,
Un problema inicial / de valor límite para una PDE parabólica hacia atrás generalmente no está bien planteado (las soluciones a menudo crecen sin límites en un tiempo finito, o incluso no existen). No obstante, estos problemas son importantes para el estudio del reflejo de singularidades de soluciones a varias otras PDE. [1] Además, surgen en el problema de los precios de ciertos instrumentos financieros .
Ejemplos de
Ver también
Referencias
- ^ Taylor, ME (1975), "Reflexión de singularidades de soluciones a sistemas de ecuaciones diferenciales", Comm. Pure Appl. Matemáticas. , 28 (4): 457–478, CiteSeerX 10.1.1.697.9255 , doi : 10.1002 / cpa.3160280403
Otras lecturas
- Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales , Estudios de posgrado en matemáticas , 19 (2a ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090 / gsm / 019 , ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943
- "Ecuación diferencial parcial parabólica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- "Ecuación diferencial parcial parabólica, métodos numéricos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]