En relatividad general y muchas alternativas a ella, el formalismo post-Newtoniano es una herramienta de cálculo que expresa las ecuaciones de gravedad de Einstein (no lineales) en términos de las desviaciones de orden más bajo de la ley de gravitación universal de Newton . Esto permite hacer aproximaciones a las ecuaciones de Einstein en el caso de campos débiles. Se pueden agregar términos de orden superior para aumentar la precisión, pero para campos fuertes, puede ser preferible resolver las ecuaciones completas numéricamente. Algunas de estas aproximaciones post-Newtonianas son expansiones en un pequeño parámetro, que es la relación entre la velocidad de la materia que forma el campo gravitacional y la velocidad de la luz , que en este caso se llama mejorvelocidad de la gravedad . En el límite, cuando la velocidad fundamental de la gravedad se vuelve infinita, la expansión post-Newtoniana se reduce a la ley de la gravedad de Newton .
El formalismo post-newtoniano parametrizado o formalismo PPN , es una versión de esta formulación que detalla explícitamente los parámetros en los que una teoría general de la gravedad puede diferir de la gravedad newtoniana. Se utiliza como herramienta para comparar la gravedad newtoniana y la einsteiniana en el límite en el que el campo gravitacional es débil y generado por objetos que se mueven lentamente en comparación con la velocidad de la luz. En general, el formalismo PPN se puede aplicar a todas las teorías métricas de la gravitación en las que todos los cuerpos satisfacen el principio de equivalencia de Einstein (EEP). La velocidad de la luz permanece constante en el formalismo PPN y se supone que el tensor métrico es siempre simétrico.
Historia
Las primeras parametrizaciones de la aproximación post-Newtoniana fueron realizadas por Sir Arthur Stanley Eddington en 1922. Sin embargo, se ocuparon únicamente del campo gravitacional de vacío fuera de un cuerpo esférico aislado. Ken Nordtvedt (1968, 1969) amplió esto para incluir siete parámetros en artículos publicados en 1968 y 1969. Clifford Martin Will introdujo una descripción de la materia continua y acentuada de los cuerpos celestes en 1971.
Las versiones aquí descritas se basan en Wei-Tou Ni (1972), Will y Nordtvedt (1972), Charles W. Misner et al. (1973) (ver Gravitation (libro) ) y Will (1981, 1993) y tienen diez parámetros.
Notación beta-delta
Diez parámetros post-Newtonianos caracterizan completamente el comportamiento de campo débil de la teoría. El formalismo ha sido una herramienta valiosa en las pruebas de relatividad general . En la notación de Will (1971), Ni (1972) y Misner et al. (1973) tienen los siguientes valores:
Cuanta curvatura espacial se produce por unidad de masa en reposo? | |
¿Cuánta no linealidad hay en la ley de superposición de la gravedad?? | |
¿Cuánta gravedad produce la energía cinética unitaria? ? | |
¿Cuánto peso se produce por unidad de potencial gravitacional de energía? | |
¿Cuánta gravedad produce la unidad de energía interna? ? | |
Cuánta gravedad produce la presión unitaria ? | |
Diferencia entre energía cinética radial y transversal en la gravedad | |
Diferencia entre esfuerzo radial y transversal sobre la gravedad | |
Cuánto arrastre de los marcos inerciales se produce por impulso unitario ? | |
Diferencia entre el impulso radial y transversal al arrastrar marcos inerciales |
es el tensor métrico simétrico de 4 por 4 con índices y pasando de 0 a 3. A continuación, un índice de 0 indicará la dirección del tiempo y los índices y (pasando de 1 a 3) indicará direcciones espaciales.
En la teoría de Einstein, los valores de estos parámetros se eligen (1) para ajustarse a la Ley de la gravedad de Newton en el límite de velocidades y masas cercanas a cero, (2) para asegurar la conservación de energía , masa , momento y momento angular , y (3 ) para hacer que las ecuaciones sean independientes del marco de referencia . En esta notación, la relatividad general tiene parámetros PPN y
Notación alfa-zeta
En la notación más reciente de Will y Nordtvedt (1972) y Will (1981, 1993, 2006) se utiliza un conjunto diferente de diez parámetros PPN.
- se calcula a partir de
El significado de estos es que , y medir el alcance de los efectos de marco preferidos. , , , y medir el fallo de conservación de la energía, el momento y el momento angular.
En esta notación, la relatividad general tiene parámetros PPN
- y
La relación matemática entre la métrica, los potenciales métricos y los parámetros PPN para esta notación es:
donde se suman los índices repetidos. está en el orden de potenciales como , la magnitud cuadrada de las velocidades coordinadas de la materia, etc. es el vector de velocidad del sistema de coordenadas PPN relativo al marco de reposo medio del universo. es el cuadrado de la magnitud de esa velocidad. si y solo si , de lo contrario.
Hay diez potenciales métricos, , , , , , , , , y , uno para cada parámetro PPN para garantizar una solución única. 10 ecuaciones lineales en 10 incógnitas se resuelven invirtiendo una matriz de 10 por 10. Estos potenciales métricos tienen formas como:
que es simplemente otra forma de escribir el potencial gravitacional newtoniano,
dónde es la densidad de la masa en reposo, es la energía interna por unidad de masa en reposo, es la presión medida en un marco local que cae libremente en comandita momentánea con la materia, y es la velocidad coordinada de la materia.
Se forma el tensor de estrés-energía para un fluido perfecto
Cómo aplicar PPN
Will (1981, 1993) puede encontrar ejemplos del proceso de aplicación del formalismo PPN a teorías alternativas de la gravedad. Es un proceso de nueve pasos:
- Paso 1: Identifique las variables, que pueden incluir: (a) variables gravitacionales dinámicas como la métrica , campo escalar , campo vectorial , campo tensorial y así; (b) variables geométricas previas como una métrica de fondo plano, función de tiempo cósmico , y así; (c) materia y variables de campo no gravitacionales.
- Paso 2: Establecer las condiciones de frontera cosmológicas. Suponga una cosmología isotrópica homogénea, con coordenadas isotrópicas en el marco de reposo del universo. Una solución cosmológica completa puede ser necesaria o no. Llamar a los resultados, , , .
- Paso 3: obtenga nuevas variables de , con , o si es necesario.
- Paso 4: Sustituya estas formas en las ecuaciones de campo, manteniendo solo los términos que sean necesarios para obtener una solución final consistente para . Sustituya las fuentes de materia por el tensor de tensión fluido perfecto.
- Paso 5: resuelve para a . Suponiendo que esto tiende a cero lejos del sistema, se obtiene la forma dónde es el potencial gravitacional newtoniano y puede ser una función complicada que incluye la "constante" gravitacional . La métrica newtoniana tiene la forma, , . Trabajar en unidades donde la "constante" gravitacional medida hoy lejos de la materia gravitante es la unidad así establecida.
- Paso 6: A partir de versiones linealizadas de las ecuaciones de campo, resuelva para a y a .
- Paso 7: resuelve para a . Este es el paso más complicado, que involucra todas las no linealidades en las ecuaciones de campo. El tensor de tensión-energía también debe expandirse a un orden suficiente.
- Paso 8: Convierta a coordenadas cuasi-cartesianas locales y al calibre PPN estándar.
- Paso 9: comparando el resultado de con las ecuaciones presentadas en PPN con parámetros alfa-zeta , lea los valores de los parámetros de PPN.
Comparaciones entre teorías de la gravedad
Se puede encontrar una tabla que compara los parámetros PPN para 23 teorías de la gravedad en Alternativas a la relatividad general # Parámetros paramétricos post-Newtonianos para una variedad de teorías .
La mayoría de las teorías métricas de la gravedad se pueden agrupar en categorías. Las teorías escalares de la gravitación incluyen teorías conformemente planas y teorías estratificadas con cortes espaciales ortogonales en el tiempo.
En teorías conformemente planas, como la teoría de la gravitación de Nordström, la métrica está dada por y para esta métrica , que discrepa drásticamente con las observaciones. En teorías estratificadas como la teoría de la gravitación de Yilmaz, la métrica viene dada por y para esta métrica , que también discrepa drásticamente con las observaciones.
Otra clase de teorías son las teorías cuasilineales como la teoría de la gravitación de Whitehead . Para éstos. Las magnitudes relativas de los armónicos de las mareas terrestres dependen de y , y las mediciones muestran que las teorías cuasilineales no están de acuerdo con las observaciones de las mareas de la Tierra.
Otra clase de teorías métricas es la teoría bimétrica . Por todos estosno es cero. De la precesión del giro solar sabemos que, y eso descarta efectivamente las teorías bimétricas.
Otra clase de teorías métricas son las teorías del tensor escalar , como la teoría de Brans-Dicke . Para todos estos,. El limite de significa que tendría que ser muy grande, por lo que estas teorías parecen cada vez menos probables a medida que mejora la precisión experimental.
La última clase principal de teorías métricas son las teorías de tensor vectorial. Para todos estos, la "constante" gravitacional varía con el tiempo yno es cero. Los experimentos de alcance láser lunar restringen fuertemente la variación de la "constante" gravitacional con el tiempo y, por lo que estas teorías también parecen poco probables.
Hay algunas teorías métricas de la gravedad que no encajan en las categorías anteriores, pero tienen problemas similares.
Precisión de las pruebas experimentales
Límites en los parámetros de PPN de Will (2006) y Will (2014)
Parámetro | Atado | Efectos | Experimentar |
---|---|---|---|
2,3 × 10 - 5 | Retraso de tiempo, deflexión de la luz | Seguimiento de Cassini | |
8 × 10 - 5 | Desplazamiento del perihelio | Desplazamiento del perihelio | |
2,3 × 10 - 4 | Efecto Nordtvedt con suposición | Efecto Nordtvedt | |
4 × 10 - 9 | Precesión de giro | Púlsares de milisegundos | |
1 × 10 - 4 | Polarización orbital | Alcance láser lunar | |
4 × 10 - 5 | Polarización orbital | PSR J1738 + 0333 | |
2 × 10 - 9 | Precesión de giro | Púlsares de milisegundos | |
4 × 10 - 20 | Autoaceleración | Estadísticas de spin-down de Pulsar | |
9 × 10 - 4 | Efecto Nordtvedt | Alcance láser lunar | |
0,02 | Límites de PPN combinados | - | |
4 × 10 - 5 † | Aceleración de púlsar binario | PSR 1913 + 16 | |
1 × 10 - 8 | Tercera ley de Newton | Aceleración lunar | |
0,006 ‡ | - | Experimento de Kreuzer |
† Will, CM (10 de julio de 1992). "¿Se conserva el impulso? Una prueba en el sistema binario PSR 1913 + 16". Cartas de revistas astrofísicas . 393 (2): L59 – L61. Código Bibliográfico : 1992ApJ ... 393L..59W . doi : 10.1086 / 186451 . ISSN 0004-637X .
‡ Residencia en de Will (1976, 2006). Es teóricamente posible [ aclaración necesaria ] que un modelo alternativo de gravedad omita este límite, en cuyo caso el límite es de Ni (1972).
Ver también
- Alternativas a la relatividad general # Parámetros paramétricos post-Newtonianos para una variedad de teorías
- Gravedad linealizada
- Parámetro de Peskin-Takeuchi Lo mismo que PPN, pero para la teoría electrodébil en lugar de la gravitación
- Pruebas de relatividad general
Referencias
- Eddington, AS (1922) La teoría matemática de la relatividad, Cambridge University Press.
- Misner, CW, Thorne, KS y Wheeler, JA (1973) Gravitación, WH Freeman and Co.
- Nordtvedt, Kenneth (25 de mayo de 1968). "Principio de equivalencia para cuerpos masivos. II. Teoría". Revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 169 (5): 1017–1025. doi : 10.1103 / physrev.169.1017 . ISSN 0031-899X .
- Nordtvedt, K. (25 de abril de 1969). "Principio de equivalencia para cuerpos masivos, incluida la energía rotacional y la presión de radiación". Revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 180 (5): 1293-1298. doi : 10.1103 / physrev.180.1293 . ISSN 0031-899X .
- Will, Clifford M. (1971). "Marcos teóricos para probar la gravedad relativista. II. Hidrodinámica post-newtoniana parametrizada y el efecto Nordtvedt". El diario astrofísico . Publicación de IOP. 163 : 611-628. doi : 10.1086 / 150804 . ISSN 0004-637X .
- Will, CM (1976). "Masa activa en gravedad relativista - Interpretación teórica del experimento de Kreuzer". El diario astrofísico . Publicación de IOP. 204 : 224-234. doi : 10.1086 / 154164 . ISSN 0004-637X .
- Will, CM (1981, 1993) Teoría y Experimento en Física Gravitacional, Cambridge University Press. ISBN 0-521-43973-6 .
- Will, CM, (2006) La confrontación entre la relatividad general y el experimento, https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
- Will, Clifford M. (11 de junio de 2014). "El enfrentamiento entre la relatividad general y el experimento" . Reseñas vivientes en relatividad . Springer Science and Business Media LLC. 17 (1): 4. doi : 10.12942 / lrr-2014-4 . ISSN 2367-3613 .
- Will, Clifford M .; Nordtvedt, Kenneth, Jr. (1972). "Leyes de conservación y marcos preferidos en gravedad relativista. I. Teorías de marco preferido y un formalismo PPN extendido". El diario astrofísico . Publicación de IOP. 177 : 757. doi : 10.1086 / 151754 . ISSN 0004-637X .