En matemáticas , un espacio de producto interno o un espacio pre-Hilbert de Hausdorff [1] [2] es un espacio vectorial con una operación binaria llamada producto interno. Esta operación asocia cada par de vectores en el espacio con una cantidad escalar conocida como el producto interno de los vectores, a menudo denotado usando paréntesis angulares (como en). [3] Los productos internos permiten la introducción rigurosa de nociones geométricas intuitivas, como la longitud de un vector o el ángulo entre dos vectores. También proporcionan los medios para definir la ortogonalidad entre vectores (producto interno cero). Los espacios de producto interno generalizan los espacios euclidianos (en los que el producto interno es el producto escalar , [4] también conocido como producto escalar) a espacios vectoriales de cualquier dimensión (posiblemente infinita) , y se estudian en el análisis funcional . Los espacios de productos internos sobre el campo de números complejos a veces se denominan espacios unitarios . El primer uso del concepto de espacio vectorial con un producto interno se debe a Giuseppe Peano , en 1898. [5]
Un producto interno induce naturalmente una asociada norma , (| x | y | y | son las normas de x y y , en la imagen), que canónicamente hace que cada espacio de producto interior en un espacio vectorial normado . Si este espacio normado también es un espacio de Banach, entonces el espacio de producto interno se denomina espacio de Hilbert . [1] Si un espacio de producto interior no es un espacio de Hilbert, entonces se puede "extender" a un espacio de Hilbert llamado finalización . Explícitamente, esto significa que H está incrustado lineal e isométricamente en un subespacio vectorial denso de y que el producto interior en es la extensión continua única del producto interior original . [1] [6]
Definición
En este artículo, el campo de los escalares denotadoes el campo de los números reales o el campo de los números complejos .
Formalmente, un espacio de producto interno es un espacio vectorial V sobre el campo junto con un mapa
- Linealidad en el primer argumento: [nota 1]
- Si la condición (1) se cumple y si también es antilineal (también llamado, conjugado lineal ) en su segundo argumento [nota 2] entoncesse llama forma sesquilínea . [1]
- Simetría conjugada o simetría hermitiana : [nota 3]
- Las condiciones (1) y (2) son las propiedades definitorias de una forma hermitiana , que es un tipo especial de forma sesquilínea. [1] Una forma sesquilínea es hermitiana si y solo sies real para todo x . [1] En particular, la condición (2) implica [nota 4] quees un número real para todo x .
- Definición positiva : [1]
Las tres condiciones anteriores son las propiedades definitorias de un producto interno, razón por la cual un producto interno a veces se define (de manera equivalente) como una forma hermitiana definida positiva . Un producto interno se puede definir de manera equivalente como una forma sesquilínea definida positiva. [1] [nota 5]
Suponiendo que (1) se cumple, la condición (3) se mantendrá si y solo si ambas condiciones (4) y (5) a continuación se cumplen: [6] [1]
- Semi-definicin positiva o no-definicin negativa : [1]
- Las condiciones (1), (2) y (4) son las propiedades definitorias de una forma hermitiana semidefinida positiva , que nos permite definir una seminorma en dada por Esta seminorma es una norma si y solo si se cumple la condición (5).
- Separación de puntos o definición :
Cada producto interior satisface las condiciones (1) a (5).
Propiedades elementales
Definitividad positiva y linealidad, respectivamente, aseguran que:
La simetría conjugada implica que es real para todos porque
La simetría conjugada y la linealidad en la primera variable implican
es decir, linealidad conjugada en el segundo argumento. Entonces, un producto interno es una forma sesquilínea .
Esta importante generalización de la familiar expansión del cuadrado sigue:
Estas propiedades, constituyentes de la linealidad anterior en el primer y segundo argumento:
también se conocen como aditividad .
En el caso de la simetría conjugada se reduce a simetría y la sesquilinealidad se reduce a bilinealidad. Por tanto, un producto interno en un espacio vectorial real es una forma bilineal simétrica definida positiva . Es decir,
y la expansión binomial se convierte en:
Definiciones, notaciones y comentarios alternativos
Un caso especial común del producto interno, el producto escalar o producto punto , se escribe con un punto centrado
Algunos autores, especialmente en física y álgebra matricial , prefieren definir el producto interno y la forma sesquilínea con linealidad en el segundo argumento en lugar del primero. Entonces, el primer argumento se vuelve lineal conjugado, en lugar del segundo. En esas disciplinas, escribiríamos el producto interno como (la notación bra-ket de la mecánica cuántica ), respectivamente y † x (producto escalar como un caso de la convención de formar el producto matricialcomo los productos escalares de las filas de A con columnas de B ). Aquí, las kets y columnas se identifican con los vectores de V , y los sujetadores y filas con los funcionales lineales (covectors) del espacio dual. con conjugación asociada con la dualidad. Este orden inverso ahora se sigue ocasionalmente en la literatura más abstracta, [10] tomandoser conjugado lineal en x en lugar de y . En cambio, unos pocos encuentran un término medio reconociendo tanto y como notaciones distintas, que sólo difieren en qué argumento es lineal conjugado.
Hay varias razones técnicas por las que es necesario restringir el campo base a y en la definición. Brevemente, el campo base debe contener un subcampo ordenado para que la no negatividad tenga sentido, [11] y por lo tanto debe tener una característica igual a 0 (ya que cualquier campo ordenado debe tener dicha característica). Esto excluye inmediatamente los campos finitos. El campo base debe tener una estructura adicional, como un automorfismo distinguido . Más generalmente, cualquier subcampo cerrado cuadráticamente de o será suficiente para este propósito (por ejemplo, números algebraicos , números construibles ). Sin embargo, en los casos en que es un subcampo adecuado (es decir, ninguno ni ), incluso los espacios de producto internos de dimensión finita no serán métricamente completos. Por el contrario, todos los espacios de producto internos de dimensión finita sobre o como los que se utilizan en la computación cuántica , son automáticamente métricamente completos (y por lo tanto los espacios de Hilbert ).
En algunos casos, es necesario considerar no negativos semi-definidas formas sesquilinear. Esto significa quesolo se requiere que no sea negativo. El tratamiento para estos casos se ilustra a continuación.
Algunos ejemplos
Numeros reales
Un ejemplo simple son los números reales con la multiplicación estándar como producto interno [4]
Espacio vectorial euclidiano
De manera más general, el espacio n real con el producto escalar es un espacio de producto interno, [4] un ejemplo de un espacio vectorial euclidiano .
donde x T es la transpuesta de x .
Espacio de coordenadas complejo
La forma general de un producto interior en se conoce como la forma hermitiana y viene dada por
Espacio Hilbert
El artículo sobre espacios de Hilbert tiene varios ejemplos de espacios de productos internos, en los que la métrica inducida por el producto interno produce un espacio métrico completo . Un ejemplo de un espacio de producto interno que induce una métrica incompleta es el espacio de funciones continuas complejas valoradas y en el intervalo El producto interior es
Esta secuencia es una secuencia de Cauchy para la norma inducida por el producto interno anterior, que no converge a una función continua .
Variables aleatorias
Para las variables aleatorias reales X e Y , el valor esperado de su producto
Matrices reales
Para matrices cuadradas reales del mismo tamaño, con transponer como conjugación
Espacios vectoriales con formas
En un espacio de producto interno, o más generalmente un espacio vectorial con una forma no degenerada (de ahí un isomorfismo), los vectores pueden enviarse a covectores (en coordenadas, mediante transposición), de modo que se puede tomar el producto interno y el producto externo de dos vectores, no simplemente de un vector y un covector.
Terminología y definiciones
Norma
Cada espacio de producto interno induce una norma , llamada sunorma canónica , definida por [4]
Como para todo espacio vectorial normado, un espacio de producto interno es un espacio métrico , para la distancia definida por
- Homogeneidad
- Para un vector x de V y un escalar r
- Desigualdad triangular
- Para vectores y de VEstas dos propiedades muestran que uno tiene una norma.
- Desigualdad de Cauchy-Schwarz
- Para x , y elementos de Vcon igualdad si y sólo si x e y son linealmente dependientes . En la literatura matemática rusa, esta desigualdad también se conoce como desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky o desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz .
- Identidad de polarización
- El producto interno se puede recuperar de la norma mediante la identidad de polarización. que es una forma de la ley de los cosenos .
- Ortogonalidad
- Dos vectores y están ortogonal si su producto interno es cero: Esto sucede si y solo si para todos los escalares [15]
En el caso de los espacios vectoriales euclidianos , que son espacios producto internos de dimensión finita sobre los reales, el producto interno permite definir el ángulo (no orientado) de dos vectores distintos de cero mediantey - Complemento ortogonal
- El complemento ortogonal de un subconjunto es el set de todos los vectores tal que y son ortogonales para todos ; es decir, es el conjunto Este conjunto es siempre un subespacio vectorial cerrado de y si el cierre de en es un subespacio vectorial entonces
- Teorema de pitágoras
- Siempre que x , y estén en V y luego La prueba de la identidad requiere solo expresar la definición de norma en términos del producto interno y multiplicar, utilizando la propiedad de aditividad de cada componente. El nombre teorema de Pitágoras surge de la interpretación geométrica en la geometría euclidiana .
- La identidad de Parseval
- Una inducción del teorema de Pitágoras produce: si son vectores ortogonales , es decir, para índices distintos luego
- Ley del paralelogramo
- Para los elementos x , y de V , La ley del paralelogramo es, de hecho, una condición necesaria y suficiente para la existencia de un producto interno correspondiente a una norma dada.
- La desigualdad de Ptolomeo
- Para x , y , z elementos de V , La desigualdad de Ptolomeo es, de hecho, una condición necesaria y suficiente para la existencia de un producto interno correspondiente a una norma dada. En detalle, Isaac Jacob Schoenberg demostró en 1952 que, dado cualquier espacio seminormado real, si su seminorma es ptolemaico, entonces el seminorma es la norma asociada con un producto interno. [dieciséis]
Partes reales y complejas de productos internos.
Suponer que es un producto interior en (por lo que es antilineal en su segundo argumento). La identidad de polarización muestra que la parte real del producto interno es
Si es un espacio vectorial real entonces y la parte imaginaria (también llamada parte compleja ) desiempre es 0 .
Suponga para el resto de esta sección que es un espacio vectorial complejo. La identidad de polarización para espacios vectoriales complejos muestra que
El mapa definido por para todos satisface los axiomas del producto interno excepto que es antilineal en su primer argumento, más que en el segundo. La parte real de ambos y son iguales a pero los productos internos difieren en su parte compleja:
La última igualdad es similar a la fórmula que expresa un funcional lineal en términos de su parte real.
- Productos internos reales frente a complejos
Dejar denotar considerado como un espacio vectorial sobre los números reales en lugar de números complejos. La parte real del complejo producto interior. es el mapa que necesariamente forma un producto interno real en el espacio vectorial real Cada producto interno en un espacio vectorial real es simétrico y bilineal .
Por ejemplo, si con producto interior dónde es un espacio vectorial sobre el campo luego es un espacio vectorial sobre y es el producto escalar dónde se identifica con el punto (y de manera similar para ). Tambien tiene en cambio, se ha definido como el mapa simétrico (en lugar del mapa antisimétrico habitual ) entonces es parte real que no sea el producto de punto; además, sin el conjugado complejo, si pero luego entonces la tarea no define una norma.
Los siguientes ejemplos muestran que aunque los productos internos reales y complejos tienen muchas propiedades y resultados en común, no son del todo intercambiables. Por ejemplo, si luego pero el siguiente ejemplo muestra que lo contrario en general no es cierto. Dado cualquier el vector (que es el vector girado 90 °) pertenece a y también pertenece a (aunque la multiplicación escalar de por i no está definido en sigue siendo cierto que el vector en denotado por es un elemento de ). Para el producto interior complejo, mientras que para el producto interior real el valor es siempre
Si tiene el producto interno mencionado anteriormente, luego el mapa definido por es un mapa lineal distinto de cero (lineal para ambos y ) que denota rotación por en el avión. Este mapa satisface para todos los vectores donde este producto interno hubiera sido complejo en lugar de real, entonces esto habría sido suficiente para concluir que este mapa lineal es idénticamente (es decir, que ), cuya rotación ciertamente no lo es. Por el contrario, para todos los distintos de cero el mapa satisface
Secuencias ortonormales
Sea V un espacio de producto interno de dimensión finita de dimensión n . Recuerde que toda base de V consta exactamente de n vectores linealmente independientes. Usando el proceso de Gram-Schmidt podemos comenzar con una base arbitraria y transformarla en una base ortonormal. Es decir, en una base en la que todos los elementos son ortogonales y tienen norma unitaria. En símbolos, una base es ortonormal si para cada y para cada i .
Esta definición de base ortonormal se generaliza al caso de espacios de productos internos de dimensión infinita de la siguiente manera. Sea V cualquier espacio de producto interno. Entonces una colección
Usando un análogo de dimensión infinita del proceso de Gram-Schmidt, se puede mostrar:
Teorema. Cualquier espacio de producto interior separable V tiene una base ortonormal.
Utilizando el principio máximo de Hausdorff y el hecho de que en un espacio de producto interno completo la proyección ortogonal sobre subespacios lineales está bien definida, también se puede demostrar que
Teorema. Cualquier espacio interior completo de producto V tiene una base ortonormal.
Los dos teoremas anteriores plantean la cuestión de si todos los espacios de productos internos tienen una base ortonormal. La respuesta resulta negativa. Este es un resultado no trivial y se demuestra a continuación. La siguiente prueba está tomada del Libro de problemas espaciales de A Hilbert de Halmos (véanse las referencias). [ cita requerida ]
Prueba Recuerde que la dimensión de un espacio de producto interno es la cardinalidad de un sistema ortonormal máximo que contiene (según el lema de Zorn , contiene al menos uno y dos cualesquiera tienen la misma cardinalidad). Una base ortonormal es ciertamente un sistema ortonormal máximo, pero como veremos, no es necesario que se mantenga lo contrario. Observe que si G es un subespacio denso de un espacio con producto interno H , entonces cualquier base ortonormal para G es automáticamente una base ortonormal para H . Por lo tanto, es suficiente para construir un espacio con producto interno H con un subespacio denso G cuya dimensión es estrictamente menor que el de H . Sea K un espacio de Hilbert de dimensión ℵ 0 (por ejemplo,). Sea E una base ortonormal de K , entonces | E | = ℵ 0 . Extender E a una base de Hamel para K , dondeDado que se sabe que la dimensión de Hamel de K es c , la cardinalidad del continuo, debe ser que
Sea L un espacio de Hilbert de dimensión c (por ejemplo,). Sea B una base ortonormal para L , y seaser una biyección. Entonces hay una transformación lineal tal que por , y por .
Dejar y deja ser la gráfica de T . Dejar ser el cierre de en ; nosotros mostraremos Ya que para cualquier tenemos resulta que
Siguiente, si luego para algunos entonces ; desde también, también tenemos Resulta que entonces y G es denso en H .
Finalmente, es un conjunto ortonormal máximo en G ; Si
para todos entonces ciertamente entonces es el vector cero en G . Por tanto, la dimensión de G esℵ 0 , mientras que está claro que la dimensión de H es c . Esto completa la prueba.
La identidad de Parseval conduce inmediatamente al siguiente teorema:
Teorema. Sea V un espacio de producto interno separable yuna base ortonormal de V . Entonces el mapa
Este teorema se puede considerar como una forma abstracta de la serie de Fourier , en la que una base ortonormal arbitraria juega el papel de la secuencia de polinomios trigonométricos . Tenga en cuenta que el conjunto de índices subyacente puede tomarse como cualquier conjunto contable (y de hecho cualquier conjunto, siempre quese define adecuadamente, como se explica en el artículo Espacio de Hilbert ). En particular, obtenemos el siguiente resultado en la teoría de series de Fourier:
Teorema. Sea V el espacio interior del producto Luego, la secuencia (indexada en el conjunto de todos los enteros) de funciones continuas
Ortogonalidad de la secuencia se deduce inmediatamente del hecho de que si luego
La normalidad de la secuencia es por diseño, es decir, los coeficientes se eligen de modo que la norma resulte en 1. Finalmente, el hecho de que la secuencia tenga un intervalo algebraico denso, en la norma del producto interno , se sigue del hecho de que la secuencia tiene un intervalo algebraico denso, esta vez en el espacio de funciones periódicas continuas encon la norma uniforme. Este es el contenido del teorema de Weierstrass sobre la densidad uniforme de polinomios trigonométricos.
Operadores en espacios interiores de productos
Varios tipos de mapas lineales A desde un espacio de producto interno V a un espacio de producto interno W son de relevancia:
- Mapas lineales continuos , es decir, A es lineal y continuo con respecto a la métrica definida anteriormente, o de manera equivalente, A es lineal y el conjunto de reales no negativosdonde x se extiende sobre la bola unitaria cerrada de V , está acotada.
- Operadores lineales simétricos, es decir, A es lineal ypara todos x , y en V .
- Isometrías, es decir, A es lineal ypara todo x , y en V , o de manera equivalente, A es lineal y para todos Todas las isometrías son inyectivas . Las isometrías son morfismos entre espacios de productos internos y los morfismos de espacios de productos internos reales son transformaciones ortogonales (compárese con la matriz ortogonal ).
- Isomorfismos isométricos, es decir, A es una isometría sobreyectiva (y, por tanto, biyectiva ). Los isomorfismos isométricos también se conocen como operadores unitarios (compárese con la matriz unitaria ).
Desde el punto de vista de la teoría del espacio de producto interno, no es necesario distinguir entre dos espacios que son isométricamente isomórficos. El teorema espectral proporciona una forma canónica para operadores simétricos, unitarios y más generalmente normales en espacios de producto internos de dimensión finita. Una generalización del teorema espectral es válida para los operadores normales continuos en los espacios de Hilbert.
Generalizaciones
Cualquiera de los axiomas de un producto interno puede debilitarse, dando lugar a nociones generalizadas. Las generalizaciones más cercanas a los productos internos ocurren donde se retienen la bilinealidad y la simetría conjugada, pero se debilita la definición positiva.
Productos internos degenerados
Si V es un espacio vectorial y una forma sesquilínea semidefinida, luego la función:
tiene sentido y satisface todas las propiedades de la norma excepto que No implica (tal funcional se llama entonces semi-norma ). Podemos producir un espacio de producto interno considerando el cociente La forma sesquilínea factores a través de W .
Esta construcción se utiliza en numerosos contextos. La construcción Gelfand-Naimark-Segal es un ejemplo particularmente importante del uso de esta técnica. Otro ejemplo es la representación de núcleos semidefinidos en conjuntos arbitrarios.
Formas simétricas conjugadas no generadas
Alternativamente, se puede requerir que el emparejamiento sea una forma no degenerada , lo que significa que para todo x distinto de cero existe algo de y tal queaunque y no necesita ser igual a x ; en otras palabras, el mapa inducido al espacio duales inyectable. Esta generalización es importante en geometría diferencial : una variedad cuyos espacios tangentes tienen un producto interno es una variedad de Riemann , mientras que si está relacionada con una forma simétrica conjugada no degenerada, la variedad es una variedad pseudo-Riemanniana . Según la ley de inercia de Sylvester , así como cada producto interno es similar al producto escalar con pesos positivos en un conjunto de vectores, toda forma simétrica conjugada no degenerada es similar al producto escalar con pesos distintos de cero en un conjunto de vectores, y el número de las ponderaciones positivas y negativas se denominan respectivamente índice positivo e índice negativo. El producto de vectores en el espacio de Minkowski es un ejemplo de producto interno indefinido, aunque, técnicamente hablando, no es un producto interno según la definición estándar anterior. El espacio de Minkowski tiene cuatro dimensiones y los índices 3 y 1 (la asignación de "+" y "-" a ellos difiere según las convenciones ).
Los enunciados puramente algebraicos (los que no usan positividad) generalmente solo se basan en la no degeneración (el homomorfismo inyectivo ) y, por tanto, se mantienen de forma más general.
Productos relacionados
El término "producto interno" se opone al producto externo , que es un opuesto ligeramente más general. Simplemente, en coordenadas, el producto interno es el producto de un Covector con un vector, dando una matriz de 1 × 1 (un escalar), mientras que el producto exterior es el producto de un vector con un Covector, produciendo un matriz. Tenga en cuenta que el producto exterior se define para diferentes dimensiones, mientras que el producto interior requiere la misma dimensión. Si las dimensiones son las mismas, entonces el producto interno es la traza del producto externo (la traza solo se define correctamente para matrices cuadradas). En un resumen informal: "interior es horizontal por vertical y se encoge, exterior es vertical por horizontal y se expande".
De manera más abstracta, el producto externo es el mapa bilineal enviar un vector y un covector a una transformación lineal de rango 1 ( tensor simple de tipo (1, 1)), mientras que el producto interno es el mapa de evaluación bilinealdado evaluando un covector en un vector; el orden de los espacios vectoriales de dominio aquí refleja la distinción entre el vector y el covector.
El producto interior y el producto exterior no deben confundirse con el producto interior y el producto exterior , que son operaciones en campos vectoriales y formas diferenciales , o más generalmente en el álgebra exterior .
Como complicación adicional, en álgebra geométrica el producto interno y el producto externo (Grassmann) se combinan en el producto geométrico (el producto de Clifford en un álgebra de Clifford ) - el producto interno envía dos vectores (1-vectores) a un escalar (a 0-vector), mientras que el producto exterior envía dos vectores a un bivector (2-vector), y en este contexto, el producto exterior generalmente se denomina producto exterior (alternativamente, producto de cuña ). El producto interno se llama más correctamente un producto escalar en este contexto, ya que la forma cuadrática no degenerada en cuestión no necesita ser definida positiva (no necesita ser un producto interno).
Ver también
- Forma bilineal : función escalar de dos variables que se convierte en un mapa lineal cuando una coordenada es fija
- Sistema biortogonal
- Espacio dual: espacio vectorial de funciones lineales de vectores que devuelven escalares; generalizando el producto escalar
- Espacio energético
- Producto semi-interno en L - Generalización de productos internos que se aplica a todos los espacios normativos
- Complemento ortogonal
Notas
- ^ Al combinar lapropiedad lineal en el primer argumento con lapropiedad de simetría conjugada , se obtiene conjugada lineal en el segundo argumento :Así es como se definió originalmente el producto interno y todavía se usa en algunas comunidades matemáticas de la vieja escuela. Sin embargo, toda la ingeniería y la informática, y la mayor parte de la física y las matemáticas modernas ahora definen el producto interno como lineal en el segundo argumento y conjugado-lineal en el primer argumento porque esto es más compatible con varias otras convenciones en matemáticas. En particular, para cualquier producto interno, hay una matriz hermitiana , positiva-definida tal que (Aquí, es la transposición conjugada de)
- ^ Esto significa que y para todos los vectores x , y , zy todos los escalares a .
- ^ Una barra sobre una expresión denota una conjugación compleja; p.ej, es la conjugación compleja de Por valores reales, y la simetría conjugada es solo simetría.
- ^ Recuerde que para cualquier número complejo c , c es un número real si y solo si. Utilizando en condición (2) da lo que implica que es un número real.
- ^ Esto se debe a que la condición (1) y la definición positiva implican quees siempre un número real. Y como se mencionó antes, una forma sesquilínea es hermitiana si y solo sies real para todo x .
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