El análisis de ondas parciales , en el contexto de la mecánica cuántica , se refiere a una técnica para resolver problemas de dispersión mediante la descomposición de cada onda en sus componentes de momento angular constituyentes y la resolución mediante condiciones de contorno .
Teoría preliminar de la dispersión
La siguiente descripción sigue la forma canónica de introducir la teoría de la dispersión elemental. Un haz constante de partículas se dispersa a partir de un potencial simétrico esférico, que es de corto alcance para que para grandes distancias , las partículas se comportan como partículas libres. En principio, cualquier partícula debería describirse mediante un paquete de ondas, pero describimos la dispersión de una onda plana que viaja a lo largo del eje zen cambio, porque los paquetes de ondas se expanden en términos de ondas planas y esto es matemáticamente más simple. Debido a que el rayo se enciende durante mucho tiempo en comparación con el tiempo de interacción de las partículas con el potencial de dispersión, se supone un estado estable. Esto significa que la ecuación de Schrödinger estacionaria para la función de onda que representa el haz de partículas debe resolverse:
Hacemos el siguiente ansatz :
dónde es la onda plana entrante y es una parte dispersa que perturba la función de onda original. Es la forma asintótica deeso es de interés, porque las observaciones cerca del centro de dispersión (por ejemplo, un núcleo atómico) en su mayoría no son factibles y la detección de partículas tiene lugar lejos del origen. A grandes distancias, las partículas deben comportarse como partículas libres ypor tanto, debería ser una solución a la ecuación de Schrödinger libre. Esto sugiere que debería tener una forma similar a una onda plana, omitiendo cualquier parte físicamente sin sentido. Por lo tanto, investigamos la expansión de la onda plana :
- .
La función esférica de Bessel se comporta asintóticamente como
Esto corresponde a una onda esférica entrante y saliente. Para la función de onda dispersa, solo se esperan partes salientes. Por lo tanto, esperamos a grandes distancias y establecer la forma asintótica de la onda dispersa a
dónde es la denominada amplitud de dispersión , que en este caso solo depende del ángulo de elevacióny la energía. En conclusión, esto da la siguiente expresión asintótica para toda la función de onda:
- .
Expansión de onda parcial
En caso de potencial esférico simétrico , la función de onda de dispersión puede expandirse en armónicos esféricos que se reducen a polinomios de Legendre debido a la simetría azimutal (sin dependencia de):
- .
En el problema de dispersión estándar, se supone que el haz entrante toma la forma de una onda plana de número de onda k , que se puede descomponer en ondas parciales utilizando la expansión de onda plana en términos de funciones esféricas de Bessel y polinomios de Legendre :
Aquí, hemos asumido un sistema de coordenadas esféricas en el que el eje z está alineado con la dirección del haz. La parte radial de esta función de onda consiste únicamente en la función esférica de Bessel, que se puede reescribir como una suma de dos funciones esféricas de Hankel :
Esto tiene un significado físico: h ℓ (2) asintóticamente (es decir, para r grande ) se comporta como i - ( ℓ +1) e ikr / ( kr ) y, por lo tanto, es una onda saliente, mientras que h ℓ (1) asintóticamente se comporta como i ℓ +1 e −ikr / ( kr ) y, por tanto, es una onda entrante. La onda entrante no se ve afectada por la dispersión, mientras que la onda saliente es modificada por un factor conocido como elemento de matriz S de onda parcial S ℓ :
donde u ℓ ( r ) / r es el componente radial de la función de onda real. El desplazamiento de fase de dispersión δ ℓ se define como la mitad de la fase de S ℓ :
Si el flujo no se pierde, entonces | S ℓ | = 1 y, por tanto, el cambio de fase es real. Este suele ser el caso, a menos que el potencial tenga un componente absorbente imaginario, que a menudo se utiliza en modelos fenomenológicos para simular pérdidas debidas a otros canales de reacción.
Por tanto, la función de onda completa es, asintóticamente,
Restar ψ en da como resultado la función de onda saliente asintótica:
Haciendo uso del comportamiento asintótico de las funciones esféricas de Hankel, se obtiene:
Dado que la amplitud de dispersión f ( θ , k ) se define mediante:
Resulta que
y así la sección transversal diferencial está dada por
Esto funciona para cualquier interacción de corto alcance. Para interacciones de largo alcance (como la interacción de Coulomb), es posible que la suma de ge no converja. El enfoque general para tales problemas consiste en tratar la interacción de Coulomb por separado de la interacción de corto alcance, ya que el problema de Coulomb puede resolverse exactamente en términos de funciones de Coulomb , que asumen el papel de las funciones de Hankel en este problema.
Referencias
- Griffiths, JD (1995). Introducción a la Mecánica Cuántica . Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.