En combinatoria , una rama de las matemáticas , la regularidad de partición es una noción de amplitud para una colección de conjuntos.
Dado un conjunto , una colección de subconjuntos se llama partición normal si cada conjunto A de la colección tiene la propiedad de que, no importa cuán A se divide en un número finito de subconjuntos, al menos uno de los subconjuntos también pertenecen a la colección. Es decir, para cualquier, y cualquier partición finita , existe un i ≤ n , tal que pertenece a . La teoría de Ramsey se caracteriza a veces como el estudio de qué colecciones son particiones regulares.
Ejemplos de
- la colección de todos los subconjuntos infinitos de un conjunto infinito X es un ejemplo prototípico. En este caso, la regularidad de la partición afirma que cada partición finita de un conjunto infinito tiene una celda infinita (es decir, el principio de casillero infinito ).
- conjuntos con densidad superior positiva en : la densidad superior de Se define como ( Teorema de Szemerédi )
- Para cualquier ultrafiltro en un set , es la partición regular: para cualquier , Si , entonces exactamente uno .
- conjuntos de recurrencia: un conjunto R de enteros se denomina conjunto de recurrencia si para cualquier medida que conserva la transformación del espacio de probabilidad (Ω, β, μ) y de medida positiva hay un distinto de cero así que eso .
- Llame a un subconjunto de números naturales rico en p si contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. Entonces, la colección de subconjuntos ricos en p tiene una partición regular ( Van der Waerden , 1927).
- Dejar ser el conjunto de todos los n subconjuntos de. Dejar. Para cada n,es la partición regular. ( Ramsey , 1930).
- Por cada cardenal infinito , la colección de conjuntos estacionarios dees la partición regular. Más es cierto: si está estacionario y para algunos , entonces algunos está estacionario.
- la colección de -conjuntos: es un -configurar si contiene el conjunto de diferencias por alguna secuencia .
- el conjunto de barreras en : llamar a una colección de subconjuntos finitos de una barrera si:
- y
- por todo infinito , hay algunos tal que los elementos de X son los elementos más pequeños de I; es decir y .
- Esto generaliza el teorema de Ramsey , ya que cada es una barrera. ( Nash-Williams , 1965)
- productos finitos de árboles infinitos ( Halpern – Läuchli , 1966)
- conjuntos sindéticos por partes (Brown, 1968)
- Llame a un subconjunto de números naturales ip-rich si contiene conjuntos finitos arbitrariamente grandes junto con todas sus sumas finitas. Entonces, la colección de subconjuntos ricos en ip tiene particiones regulares ( Folkman - Rado - Sanders, 1968).
- ( m , p , c ) -conjuntos (Deuber, 1973)
- Conjuntos de PI (Hindman, 1974, véase también Hindman, Strauss, 1998)
- MT k conjuntos para cada k , es decir , k -tuplas de sumas finitas (Milliken-Taylor, 1975)
- conjuntos centrales; es decir, los miembros de cualquier idempotente mínimo en, la compactación Stone-Čech de los números enteros. (Furstenberg, 1981, ver también Hindman, Strauss, 1998)
Ecuaciones diofánticas
Una ecuación diofántica se llama partición regular si la colección de todos los subconjuntos infinitos deque contiene una solución es partición regular. El teorema de Rado caracteriza exactamente qué sistemas de ecuaciones diofánticas linealesson particiones regulares. Recientemente se ha avanzado mucho en la clasificación de ecuaciones diofánticas no lineales. [1] [2]
Referencias
- ^ Di Nasso, Mauro; Luperi Baglini, Lorenzo (enero de 2018). "Propiedades de Ramsey de ecuaciones diofánticas no lineales" . Avances en Matemáticas . 324 : 84-117. arXiv : 1606.02056 . doi : 10.1016 / j.aim.2017.11.003 . ISSN 0001-8708 .
- ^ Barrett, Jordan Mitchell; Lupini, Martino; Moreira, Joel (mayo de 2021). "En condiciones de Rado para ecuaciones diofánticas no lineales" . Revista europea de combinatoria . 94 : 103277. arXiv : 1907.06163 . doi : 10.1016 / j.ejc.2020.103277 . ISSN 0195-6698 .
- Vitaly Bergelson , N. Hindman Las estructuras regulares de partición contenidas en conjuntos grandes son abundantes J. Comb. Teoría A 93 (2001), 18–36.
- T. Brown, Un método combinatorio interesante en la teoría de semigrupos localmente finitos , Pacific J. Math. 36 , no. 2 (1971), 285-289.
- W. Deuber, Mathematische Zeitschrift 133 , (1973) 109-123
- N. Hindman, Sumas finitas de secuencias dentro de células de una partición de N , J. Comb. Teoría A 17 (1974) 1-11.
- C.St.JA Nash-Williams , Sobre secuencias transfinitas bien cuasi-ordenadas, Proc. Camb. Phil. Soc. 61 (1965), 33–39.
- N. Hindman, D. Strauss, Álgebra en la compactación de Stone-Čech, De Gruyter, 1998
- J.Sanders, Una generalización del teorema de Schur, Tesis doctoral, Universidad de Yale, 1968.