En geometría , un triángulo de pedal se obtiene proyectando un punto sobre los lados de un triángulo .
Más específicamente, considere un triángulo ABC , y un punto P que no es uno de los vértices A, B, C . Suelta las perpendiculares desde P a los tres lados del triángulo (es posible que sea necesario producirlas, es decir, extenderlas). Rotula L , M , N las intersecciones de las rectas de P con los lados BC , AC , AB . El triángulo del pedal es entonces LMN .
Si ABC no es un triángulo obtuso, los ángulos de LMN son 180º-2A, 180º-2B y 180º-2C. [1]
La ubicación del punto P elegido con respecto al triángulo ABC elegido da lugar a algunos casos especiales:
- Si P = ortocentro , entonces LMN = triángulo órtico .
- Si P = incentro , entonces LMN = triángulo táctil.
- Si P = circuncentro , entonces LMN = triángulo medial .
Si P está en la circunferencia del triángulo, LMN se colapsa en una línea. A esto se le llama entonces la línea de pedales , o algunas veces la línea de Simson después de Robert Simson .
Los vértices del triángulo del pedal de un punto interior P , como se muestra en el diagrama superior, dividen los lados del triángulo original de tal manera que satisfagan el teorema de Carnot : [2]
Coordenadas trilineales
Si P tiene coordenadas trilineales p : q : r , entonces los vértices L, M, N del triángulo del pedal de P están dados por
- L = 0: q + p cos C : r + p cos B
- M = p + q cos C: 0: r + q cos A
- N = p + r cos B: q + r cos A: 0
Triángulo antípedo
Un vértice, L' , del triángulo antipedal de P es el punto de intersección de la perpendicular a BP a través de B y la perpendicular a CP a través de C . Sus otros vértices, M 'y N ', se construyen de forma análoga. Las coordenadas trilineales están dadas por
- L ' = - (q + p cos C) (r + p cos B): (r + p cos B) (p + q cos C): (q + p cos C) (p + r cos B)
- M ' = (r + q cos A) (q + p cos C): - (r + q cos A) (p + q cos C): (p + q cos C) (q + r cos A)
- N ' = (q + r cos A) (r + p cos B): (p + r cos B) (r + q cos A): - (p + r cos B) (q + r cos A)
Por ejemplo, el triángulo excentral es el triángulo antípedo del incentro.
Supongamos que P no se encuentra en ninguno de los lados largos BC, CA, AB, y dejar P -1 denota el conjugado isogonal de P . El triángulo del pedal de P es homotético con el triángulo antípedo de P −1 . El centro homotético (que es un centro triangular si y solo si P es un centro triangular) es el punto dado en coordenadas trilineales por
- ap (p + q cos C) (p + r cos B): bq (q + r cos A) (q + p cos C): cr (r + p cos B) (r + q cos A) .
El producto de las áreas del triángulo del pedal de P y el triángulo antípedo de P −1 es igual al cuadrado del área del triángulo ABC .
Referencias
- ^ "Trigonometría / Círculos y triángulos / El triángulo del pedal - Wikilibros, libros abiertos para un mundo abierto" . en.wikibooks.org . Consultado el 31 de octubre de 2020 .
- ^ Alfred S. Posamentier ; Charles T. Salkind (1996). Problemas desafiantes en geometría . Nueva York: Dover. pp. 85 -86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719 .