El triángulo medial o triángulo del punto medio de un triángulo ABC es el triángulo con vértices en los puntos medios de los lados AB, AC y BC del triángulo. Es el caso n = 3 del polígono de punto medio de un polígono con n lados. El triángulo medial no es lo mismo que el triángulo mediano , que es el triángulo cuyos lados tienen las mismas longitudes que las medianas de ABC .
Cada lado del triángulo medial se llama segmento medio (o línea media ). En general, un segmento medio de un triángulo es un segmento de línea que une los puntos medios de dos lados del triángulo. Es paralelo al tercer lado y tiene una longitud igual a la mitad de la longitud del tercer lado.
Propiedades
El triángulo medial también se puede ver como la imagen del triángulo ABC transformado por una homotecia centrada en el centroide con una relación -1/2. Por lo tanto, los lados del triángulo medial son la mitad y paralelos a los lados correspondientes del triángulo ABC. Por lo tanto, el triángulo medial es inversamente similar y comparte el mismo centroide y medianas con el triángulo ABC . También se sigue de esto que el perímetro del triángulo medial es igual al semiperímetro del triángulo ABC , y que el área es un cuarto del área del triángulo ABC . Además, los cuatro triángulos en los que se subdivide el triángulo original por el triángulo medial son todos mutuamente congruentes por SSS , por lo que sus áreas son iguales y, por lo tanto, el área de cada uno es 1/4 del área del triángulo original. [1] : pág . 177
El ortocentro del triángulo medial coincide con el circuncentro del triángulo ABC . Este hecho proporciona una herramienta para probar la colinealidad del circuncentro, centroide y ortocentro. El triángulo medial es el triángulo del pedal del circuncentro. El círculo de nueve puntos circunscribe el triángulo medial, por lo que el centro de nueve puntos es el circuncentro del triángulo medial.
El punto Nagel del triángulo medial es el incentro de su triángulo de referencia. [2] : p.161, Thm.337
El triángulo medial de un triángulo de referencia es congruente con el triángulo cuyos vértices son los puntos medios entre el ortocentro del triángulo de referencia y sus vértices. [2] : p.103, # 206; p.108, # 1
El incentro de un triángulo se encuentra en su triángulo medial. [3] : pág . 233, Lema 1
Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una inelipse del triángulo si y solo si el punto se encuentra en el interior del triángulo medial. [4] : pág.139
El triángulo medial es el único triángulo inscrito para el cual ninguno de los otros tres triángulos interiores tiene un área más pequeña. [5] : pág. 137
Coordenadas
Sea a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | ser las longitudes de los lados del triángulo ABC. Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo medial están dadas por
- X = 0: 1 / b: 1 / c
- Y = 1 / a: 0: 1 / c
- Z = 1 / a: 1 / b: 0
Triángulo anticomplementario
Si XYZ es el triángulo medial de ABC , ABC es el triángulo anticomplementario o triángulo antimedial de XYZ . El triángulo anticomplementaria de ABC está formada por tres líneas paralelas a los lados de ABC : la paralela a AB a través de C , el paralelo a AC a través de B , y el paralelo a BC a través de A .
Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo anticomplementario, X'Y'Z ', están dadas por
- X '= −1 / a: 1 / b: 1 / c
- Y '= 1 / a: −1 / b: 1 / c
- Z '= 1 / a: 1 / b: −1 / c
El nombre "triángulo anticomplementario" corresponde al hecho de que sus vértices son los anticomplementos de los vértices A, B, C del triángulo de referencia. Los vértices del triángulo medial son los complementos de A, B, C.
Ver también
- Erizo medio , un concepto análogo para conjuntos convexos más generales
Referencias
- ^ Posamentier, Alfred S. y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012.
- ↑ a b Altshiller-Court, Nathan. Geometría universitaria . Publicaciones de Dover, 2007.
- ^ Franzsen, William N .. "La distancia desde el incentro a la línea de Euler", Forum Geometricorum 11 (2011): 231-236.
- ^ Chakerian, GD "Una vista distorsionada de la geometría". Ch. 7 en Ciruelas matemáticas (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1979.
- ^ Torrejón, Ricardo M. "En una desigualdad de triángulo inscrito Erdos", Forum Geometricorum 5, 2005, 137-141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Triángulo medial" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Triángulo anticomplementario" . MathWorld .