En geometría , el conjugado isogonal de un punto P con respecto a un triángulo ABC se construye reflejando las líneas PA , PB y PC alrededor de las bisectrices de los ángulos A , B y C, respectivamente. Estas tres líneas reflejadas concurren en el conjugado isogonal de P . (Esta definición se aplica solo a los puntos que no están en una línea lateral del triángulo ABC .) Este es un resultado directo de la forma trigonométrica del teorema de Ceva .
El conjugado isogonal de un punto P a veces se denota por P * . El conjugado isogonal de P * es P .
El conjugado isogonal del incentre I es él mismo. El conjugado isogonal de la orthocentre H es el circuncentro O . El conjugado isogonal del centroide G es (por definición) el punto simediano K . Los conjugados isogonales de los puntos de Fermat son los puntos isodinámicos y viceversa. Los puntos de Brocard son conjugados isogonales entre sí.
En coordenadas trilineales , si X = x : y : z es un punto que no está en una línea lateral del triángulo ABC , entonces su conjugado isogonal es 1 / x : 1 / y : 1 / z . Por esta razón, el conjugado isogonal de X a veces se denota por X −1 . El conjunto S de centros de triángulos bajo el producto trilineal, definido por
- ( p : q : r ) * ( u : v : w ) = pu : qv : rw ,
es un grupo conmutativo, y la inversa de cada X en S es X −1 .
Como la conjugación isogonal es una función, tiene sentido hablar del conjugado isogonal de conjuntos de puntos, como líneas y círculos. Por ejemplo, el conjugado isogonal de una línea es un circumcónico ; específicamente, una elipse, parábola o hipérbola de acuerdo con la línea que cruza el círculo circunferencial en 0, 1 o 2 puntos. El conjugado isogonal de la circunferencia es la línea en el infinito. Varias cúbicas bien conocidas (por ejemplo, Thompson cúbica, Darboux cúbica, Neuberg cúbica) son auto-isogonales-conjugadas, en el sentido de que si X está en la cúbica, entonces X −1 también está en la cúbica.