En geometría , un politopo pentagonal es un politopo regular en n dimensiones construido a partir del grupo H n Coxeter . La familia fue nombrada por HSM Coxeter , porque el politopo pentagonal bidimensional es un pentágono . Puede ser nombrado por su símbolo de Schläfli como {5, 3 n - 2 } (dodecaédrico) o {3 n - 2 , 5} (icosaédrico).
Miembros de la familia
La familia comienza como 1-politopos y termina con n = 5 como teselaciones infinitas de espacio hiperbólico de 4 dimensiones.
Hay dos tipos de politopos pentagonales; pueden denominarse tipos dodecaédricos e icosaédricos , por sus miembros tridimensionales. Los dos tipos son duales entre sí.
Dodecaédrico
La familia completa de politopos pentagonales dodecaédricos son:
- Segmento de línea , {}
- Pentágono , {5}
- Dodecaedro , {5, 3} (12 caras pentagonales )
- 120 celdas , {5, 3, 3} (120 celdas dodecaédricas )
- Order-3 nido de abeja de 120 celdas , {5, 3, 3, 3} (teselados hiperbólicos de 4 espacios ( facetas de 120 celdas )
Las facetas de cada politopo dodecaédrico pentagonal son los politopos dodecaédricos pentagonales de una dimensión menos. Sus figuras de vértice son los simples de una dimensión menos.
norte | Grupo Coxeter | Proyección del polígono de Petrie | Nombre Diagrama de Coxeter Símbolo de Schläfli | Facetas | Elementos | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Vértices | Bordes | Caras | Células | 4 caras | |||||
1 | [] (orden 2) | Segmento de línea {} | 2 vértices | 2 | |||||
2 | [5] (orden 10) | Pentágono {5} | 5 aristas | 5 | 5 | ||||
3 | [5,3] (pedido 120) | Dodecaedro {5, 3} | 12 pentágonos | 20 | 30 | 12 | |||
4 | [5,3,3] (pedido 14400) | 120 celdas {5, 3, 3} | 120 dodecaedros | 600 | 1200 | 720 | 120 | ||
5 | [5,3,3,3] (orden ∞) | Panal de 120 celdas {5, 3, 3, 3} | ∞ 120 celdas | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
Icosaédrico
La familia completa de politopos pentagonales icosaédricos son:
- Segmento de línea , {}
- Pentágono , {5}
- Icosaedro , {3, 5} (20 caras triangulares )
- 600 celdas , {3, 3, 5} (600 celdas tetraédricas )
- Order-5 panal de 5 celdas , {3, 3, 3, 5} (teselados hiperbólicos de 4 espacios ( facetas de 5 celdas )
Las facetas de cada politopo pentagonal icosaédrico son los simples de una dimensión menos. Sus figuras de vértice son politopos pentagonales icosaédricos de una dimensión menos.
norte | Grupo Coxeter | Proyección del polígono de Petrie | Nombre Diagrama de Coxeter Símbolo de Schläfli | Facetas | Elementos | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Vértices | Bordes | Caras | Células | 4 caras | |||||
1 | [] (orden 2) | Segmento de línea {} | 2 vértices | 2 | |||||
2 | [5] (orden 10) | Pentágono {5} | 5 bordes | 5 | 5 | ||||
3 | [5,3] (pedido 120) | Icosaedro {3, 5} | 20 triángulos equiláteros | 12 | 30 | 20 | |||
4 | [5,3,3] (pedido 14400) | 600 celdas {3, 3, 5} | 600 tetraedros | 120 | 720 | 1200 | 600 | ||
5 | [5,3,3,3] (orden ∞) | Order-5 nido de abeja de 5 celdas {3, 3, 3, 5} | ∞ 5 celdas | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
Politopos en estrella y panales relacionados
Los politopos pentagonales se pueden estrellar para formar nuevos politopos regulares en estrella :
- En dos dimensiones, obtenemos el pentagrama {5/2},
- En tres dimensiones, esto forma los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot , { 3,5 / 2 }, { 5 / 2,3 }, { 5,5 / 2 } y { 5 / 2,5 }.
- En cuatro dimensiones, esto forma la policora de diez Schläfli-Hess : { 3,5,5 / 2 }, { 5 / 2,5,3 }, { 5,5 / 2,5 }, { 5,3,5 / 2 }, { 5 / 2,3,5 }, { 5 / 2,5,5 / 2 }, { 5,5 / 2,3 }, { 3,5 / 2,5 }, { 3,3, 5/2 } y { 5 / 2,3,3 }.
- En el espacio hiperbólico de cuatro dimensiones hay cuatro panales de estrellas regulares : {5 / 2,5,3,3} , {3,3,5,5 / 2} , {3,5,5 / 2,5} , y {5,5 / 2,5,3} .
En algunos casos, los politopos pentagonales en estrella se cuentan entre los politopos pentagonales. [1]
Como otros politopos, las estrellas regulares se pueden combinar con sus duales para formar compuestos;
- En dos dimensiones, se forma una figura de estrella decagrammica {10/2},
- En tres dimensiones, obtenemos el compuesto de dodecaedro e icosaedro ,
- En cuatro dimensiones, obtenemos el compuesto de 120 celdas y 600 celdas .
Los politopos en estrella también se pueden combinar.
Notas
- ↑ Coxeter, HSM: Regular Polytopes (tercera edición), p. 107, pág. 266
Referencias
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 10) HSM Coxeter, Star Polytopes y la función Schlafli f (α, β, γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]
- Coxeter , Politopos regulares , 3er. ed., Publicaciones de Dover, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tabla I (ii): 16 politopos regulares {p, q, r} en cuatro dimensiones, págs. 292-293)
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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