En la teoría de la información cuántica , un testigo de entrelazamiento es un funcional que distingue un estado entrelazado específico de los separables. Los testigos de entrelazamiento pueden ser funcionales lineales o no lineales de la matriz de densidad . Si son lineales, también pueden verse como observables para los cuales el valor esperado del estado entrelazado está estrictamente fuera del rango de posibles valores esperados de cualquier estado separable .
Detalles
Deje que un sistema cuántico compuesto tenga espacio de estados . Un estado mixto ρ es entonces un operador positivo de clase de traza en el espacio de estados que tiene la traza 1. Podemos ver la familia de estados como un subconjunto del espacio de Banach real generado por los operadores de clase de traza hermitianos, con la norma de traza. Un estado mixto ρ es separable si puede aproximarse, en la norma de seguimiento, por estados de la forma
dónde 'arena son estados puros en los subsistemas A y B respectivamente. Entonces, la familia de estados separables es el casco convexo cerrado de estados de producto puro. Utilizaremos la siguiente variante del teorema de Hahn-Banach :
Teorema Sea y ser conjuntos cerrados convexos disjuntos en un espacio real de Banach y uno de ellos es compacto , entonces existe una f funcional acotada que separa los dos conjuntos.
Ésta es una generalización del hecho de que, en el espacio euclidiano real, dado un conjunto convexo y un punto exterior, siempre existe un subespacio afín que separa a los dos. El subespacio afín se manifiesta como el funcional f . En el contexto actual, la familia de estados separables es un conjunto convexo en el espacio de los operadores de clases de rastreo. Si ρ es un estado entrelazado (por lo tanto, se encuentra fuera del conjunto convexo), entonces, según el teorema anterior, hay una f funcional que separa a ρ de los estados separables. Es esta funcional f , o su identificación como un operador, que llamamos un testigo enredo . Hay más de un hiperplano que separa un conjunto convexo cerrado de un punto que se encuentra fuera de él, por lo que para un estado entrelazado hay más de un testigo de entrelazamiento. Recuerde el hecho de que el espacio dual del espacio de Banach de operadores de clase de rastreo es isomorfo al conjunto de operadores acotados . Por lo tanto, podemos identificar f con un operador hermitiana A . Por lo tanto, módulo algunos detalles, hemos demostrado la existencia de un testigo de enredo dado un estado de enredo:
Teorema Para cada estado entrelazado ρ, existe un operador hermitiano A tal que, y para todos los estados separables σ.
Cuando ambos y tienen dimensión finita, no hay diferencia entre los operadores de clase de traza y de Hilbert-Schmidt . Entonces, en ese caso, A puede ser dado por el teorema de representación de Riesz . Como corolario inmediato, tenemos:
Teorema Un estado mixto σ es separable si y solo si
para cualquier operador acotado A satisfactorio , para todo el producto en estado puro .
Si un estado es separable, claramente debe cumplirse la implicación deseada del teorema. Por otro lado, dado un estado de enredo, uno de sus testigos de enredo violará la condición dada.
Por lo tanto, si una función limitada f del espacio de Banach de la clase de trazas yf es positiva en los estados puros del producto, entonces f , o su identificación como operador hermitiano, es un testigo de entrelazamiento. Tal f indica el entrelazamiento de algún estado.
Usando el isomorfismo entre testigos de enredo y mapas no completamente positivos, se demostró (por los Horodeckis) que
Teorema Suponga queson de dimensión finita. Un estado mixto es separable si para cada mapa positivo Λ de los operadores acotados en a operadores acotados en , el operador es positivo, donde es el mapa de identidad en , los operadores acotados en .
Referencias
- Terhal, Barbara M. (2000). "Las desigualdades de Bell y el criterio de separabilidad". Physics Letters A . 271 (5–6): 319–326. arXiv : quant-ph / 9911057 . Código Bibliográfico : 2000PhLA..271..319T . doi : 10.1016 / S0375-9601 (00) 00401-1 . ISSN 0375-9601 .También disponible en quant-ph / 9911057
- RB Holmes. Análisis funcional geométrico y sus aplicaciones , Springer-Verlag, 1975.
- M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Separabilidad de estados mixtos: condiciones necesarias y suficientes , Physics Letters A 223, 1 (1996) y arXiv: quant-ph / 9605038
- Z. Ficek, "Procesamiento de entrelazamiento cuántico con átomos", Appl. Matemáticas. Inf. Sci. 3, 375–393 (2009).
- Barry C. Sanders y Jeong San Kim, "Monogamia y poligamia del entrelazamiento en sistemas cuánticos multipartitos", Appl. Matemáticas. Inf. Sci. 4, 281–288 (2010).
- Gühne, O .; Tóth, G. (2009). "Detección de enredos". Phys. Rep . 474 (1–6): 1–75. arXiv : 0811.2803 . Código Bibliográfico : 2009PhR ... 474 .... 1G . doi : 10.1016 / j.physrep.2009.02.004 .