En geometría, la configuración de Perles es una configuración de 9 puntos y 9 líneas que se pueden realizar en el plano euclidiano pero para la cual cada realización tiene al menos un número irracional como una de sus coordenadas. Sin embargo, no es una configuración proyectiva , porque sus puntos y líneas no tienen todos el mismo número de incidencias entre sí. Fue introducido por Micha Perles en la década de 1960. [1]
No es el primer ejemplo conocido de una configuración irracional de puntos y líneas. Mac Lane (1936) describe un ejemplo de 11 puntos, obtenido aplicando el álgebra de lanzamientos de Von Staudt para construir una configuración correspondiente a la raíz cuadrada de dos . [2]
Construcción a partir de un pentágono regular
Una forma de construir la configuración de Perles es comenzar con un pentágono regular y sus cinco diagonales, que forman los lados de un pentágono regular más pequeño dentro del inicial. Los nueve puntos de la configuración consisten en cuatro de los cinco vértices de cada pentágono y el centro compartido de los dos pentágonos; los dos vértices del pentágono que faltan se eligen para que sean colineales con el centro. Las nueve líneas de la configuración consisten en las cinco líneas que son diagonales del pentágono exterior y los lados del pentágono interior, y las cuatro líneas que pasan por el centro y por los pares de vértices correspondientes de los dos pentágonos.
Invariancia proyectiva
Toda realización de esta configuración en el plano proyectivo real equivale, bajo una transformación proyectiva , a una realización así construida a partir de un pentágono regular. Por lo tanto, en cada realización, hay cuatro puntos que tienen la misma relación cruzada que la relación cruzada de los cuatro puntos colineales en la realización derivada del pentágono regular. Pero, estos cuatro puntos tienen como su relación cruzada, donde es la proporción áurea , un número irracional. Cada cuatro puntos colineales con coordenadas racionales tienen una relación cruzada racional, por lo que la configuración de Perles no se puede realizar mediante puntos racionales. Branko Grünbaum ha conjeturado que toda configuración que pueda realizarse mediante números irracionales pero no racionales tiene al menos nueve puntos; si es así, la configuración de Perles sería la configuración irracional más pequeña posible de puntos y líneas. [3]
Aplicación en combinatoria poliédrica
Perles usó su configuración para construir un politopo convexo de ocho dimensiones con doce vértices que se puede realizar de manera similar con coordenadas reales pero no con coordenadas racionales. Los puntos de la configuración, tres de ellos duplicados y con signos asociados a cada punto, forman el diagrama de Gale del politopo de Perles . La demostración de Ernst Steinitz del teorema de Steinitz puede usarse para mostrar que cada politopo tridimensional puede realizarse con coordenadas racionales, pero ahora se sabe que existen politopos irracionales en cuatro dimensiones. Sin embargo, el politopo de Perles tiene la menor cantidad de vértices de cualquier politopo irracional conocido. [4]
Notas
- ^ Grünbaum (2003) ; Ziegler (2008) ; Berger (2010)
- ^ Mac Lane (1936) ; Ziegler (2008)
- ^ Grünbaum (2003) .
- ^ Grünbaum (2003) , p. 96a.
Referencias
- Berger, Marcel (2010), "I.4 Tres configuraciones del plano afín y lo que les ha sucedido: Pappus, Desargues y Perles", Geometría revelada , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 17-23, doi : 10.1007 / 978-3-540-70997-8 , ISBN 978-3-540-70996-1, MR 2724440
- Grünbaum, Branko (2003), Politopos convexos , Textos de posgrado en matemáticas, 221 (Segunda ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. 93–95, ISBN 978-0-387-00424-2, Señor 1976856
- Mac Lane, Saunders (1936), "Algunas interpretaciones de la dependencia lineal abstracta en términos de geometría proyectiva", American Journal of Mathematics , 58 (1): 236-240, doi : 10.2307 / 2371070 , JSTOR 2371070 , MR 1507146
- Ziegler, Günter M. (2008), "Configuraciones no racionales, politopos y superficies", The Mathematical Intelligencer , 30 (3): 36–42, arXiv : 0710.4453 , doi : 10.1007 / BF02985377 , MR 2437198