Dos figuras en un plano son perspectiva desde un punto O si las líneas de unión correspondientes puntos de las figuras todos cumplen en O . Dualmente , se dice que las figuras están en perspectiva desde una línea si los puntos de intersección de las líneas correspondientes se encuentran todos en una línea. La configuración adecuada para este concepto es la geometría proyectiva donde no habrá casos especiales debido a líneas paralelas ya que todas las líneas se encuentran. Aunque se indica aquí para figuras en un plano, el concepto se extiende fácilmente a dimensiones superiores.
Terminología
La línea que pasa por los puntos donde la figura de lados de intersección se conoce como el correspondiente eje de perspectivity , eje perspectiva , eje de homología , o arcaicamente, perspectrix . Se dice que las figuras son en perspectiva desde este eje. El punto en que las líneas que unen los vértices correspondientes de las figuras en perspectiva de intersección se llama el centro de perspectivity , centro de perspectiva , centro de homología , polo , o arcaicamente perspector . Se dice que las figuras son perspectiva desde este centro. [1]
Perspectiva
Si cada una de las figuras en perspectiva consta de todos los puntos de una línea (un rango ), la transformación de los puntos de un rango al otro se denomina perspectiva central . Una transformación dual, que lleva todas las líneas a través de una punta (un lápiz ) a otro lápiz por medio de un eje de perspectividad, se llama perspectiva axial . [2]
triangulos
Un caso especial importante ocurre cuando las figuras son triángulos . Dos triángulos que tienen perspectiva desde un punto se denominan par central y dos triángulos que tienen perspectiva desde una línea se denominan par axial . [3]
Notación
Karl von Staudt introdujo la notaciónpara indicar que los triángulos ABC y abc son perspectiva. [4]
Configuraciones y teoremas relacionados
El teorema de Desargues establece que un par central de triángulos es axial. El enunciado inverso, un par axial de triángulos es central, es equivalente (cualquiera puede usarse para probar el otro). El teorema de Desargues puede demostrarse en el plano proyectivo real , y con modificaciones adecuadas para casos especiales, en el plano euclidiano . Los planos proyectivos en los que se puede demostrar este resultado se denominan planos desarguesianos .
Hay diez puntos asociados con estos dos tipos de perspectiva: seis en los dos triángulos, tres en el eje de la perspectiva y uno en el centro de la perspectiva. Dualmente , también hay diez líneas asociadas con dos triángulos de perspectiva: tres lados de los triángulos, tres líneas que atraviesan el centro de la perspectiva y el eje de la perspectiva. Estos diez puntos y diez líneas forman una instancia de la configuración de Desargues .
Si dos triángulos son una pareja central en al menos dos formas diferentes (con dos asociaciones diferentes de vértices correspondientes y dos centros de perspectiva diferentes), entonces son perspectiva de tres formas. Esta es una de las formas equivalentes del teorema de Pappus (hexágono) . [5] Cuando esto sucede, los nueve puntos asociados (seis vértices de triángulos y tres centros) y nueve líneas asociadas (tres a través de cada centro de perspectiva) forman una instancia de la configuración de Pappus .
La configuración de Reye está formada por cuatro tetraedros de perspectiva cuádruple de forma análoga a la configuración de Pappus.
Ver también
Notas
- ↑ Young 1930 , p. 28
- ↑ Young 1930 , p. 29
- ^ Dembowski 1968 , p. 26
- ^ HSM Coxeter (1942) Geometría no euclidiana , University of Toronto Press , reeditado en 1998 por la Asociación Matemática de América , ISBN 0-88385-522-4 . 21,2.
- ^ Coxeter , 1969 , p. 233 ejercicio 2
Referencias
- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introducción a la geometría (2a ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
- Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
- Young, John Wesley (1930), Geometría proyectiva , The Carus Mathematical Monographs (# 4), Asociación Matemática de América