En geometría , la configuración de Desargues es una configuración de diez puntos y diez líneas, con tres puntos por línea y tres líneas por punto. Lleva el nombre de Girard Desargues y está estrechamente relacionado con el teorema de Desargues , que prueba la existencia de la configuración.
Construcciones
Dos dimensiones
Se dice que dos triángulos ABC y abc están en perspectiva centralmente si las líneas Aa , Bb y Cc se encuentran en un punto común, llamado centro de perspectiva . Están en perspectiva axialmente si los puntos de intersección de los lados del triángulo correspondiente, X = AB ∩ ab , Y = AC ∩ ac , y Z = BC ∩ bc están todos en una línea común, el eje de la perspectiva . El teorema de Desargues en geometría establece que estas dos condiciones son equivalentes: si dos triángulos están en perspectiva centralmente, también deben estar en perspectiva axialmente, y viceversa. Cuando esto sucede, los diez puntos y las diez líneas de las dos perspectivas (los seis vértices del triángulo, los tres puntos de cruce y el centro de la perspectiva, y los seis lados del triángulo, las tres líneas a través de los correspondientes pares de vértices y el eje de la perspectiva) se forman juntos. una instancia de la configuración de Desargues.
Tres dimensiones
Aunque puede estar incrustado en dos dimensiones, la configuración de Desargues tiene una construcción muy simple en tres dimensiones: para cualquier configuración de cinco planos en posición general en el espacio euclidiano , los diez puntos donde se encuentran tres planos y las diez líneas formadas por la intersección de dos de los planos juntos forman una instancia de la configuración ( Barnes 2012 ). Esta construcción está estrechamente relacionada con la propiedad de que todo plano proyectivo que se pueda incrustar en un espacio proyectivo tridimensional obedece al teorema de Desargues. Esta realización tridimensional de la configuración de Desargues también se denomina pentaedro completo ( Barnes 2012 ).
Cuatro dimensiones
El pentatopo de 5 celdas (un simplex regular en cuatro dimensiones) tiene cinco vértices , diez aristas , diez crestas triangulares (caras bidimensionales) y cinco facetas tetraédricas ; los bordes y las crestas se tocan entre sí en el mismo patrón que la configuración de Desargues. Extienda cada uno de los bordes de las 5 celdas hasta la línea que lo contiene (su casco afín ), extienda de manera similar cada triángulo de las 5 celdas hasta el plano bidimensional que lo contiene, e interseque estas líneas y planos con tres dimensional hiperplano que no contiene ni es paralela a ninguno de ellos. Cada línea se cruza con el hiperplano en un punto y cada plano se cruza con el hiperplano en una línea; estos diez puntos y líneas forman una instancia de la configuración de Desargues ( Barnes 2012 ).
Simetrías
Aunque el teorema de Desargues elige diferentes roles para sus diez líneas y puntos, la configuración de Desargues en sí es más simétrica : cualquiera de los diez puntos puede elegirse para ser el centro de la perspectiva, y esa elección determina qué seis puntos serán los vértices de los triángulos. y qué línea será el eje de la perspectividad. La configuración de Desargues tiene un grupo de simetría S 5 de orden 120; es decir, hay 120 formas diferentes de permutar los puntos y líneas de la configuración de una manera que preserva sus incidencias de línea de punto ( Stroppel & Stroppel 2013 ). La construcción tridimensional de la configuración de Desargues hace que estas simetrías sean más evidentes: si la configuración se genera a partir de cinco planos en posición general en tres dimensiones, entonces cada una de las 120 permutaciones diferentes de estos cinco planos corresponde a una simetría de la configuración ( Barnes 2012 ).
La configuración de Desargues es auto-dual, lo que significa que es posible encontrar una correspondencia de puntos de una configuración de Desargues a líneas de una segunda configuración, y de líneas de la primera configuración a puntos de una segunda configuración, de tal manera que todos de las incidencias de la configuración se conservan ( Coxeter 1964 ).
Gráficos
El gráfico de Levi de la configuración de Desargues, un gráfico que tiene un vértice para cada punto o línea de la configuración, se conoce como gráfico de Desargues . Debido a las simetrías y la autodualidad de la configuración de Desargues, el gráfico de Desargues es un gráfico simétrico .
Kempe (1886) dibuja un gráfico diferente para esta configuración, con diez vértices que representan sus diez líneas, y con dos vértices conectados por una arista siempre que las dos líneas correspondientes no se encuentren en uno de los puntos de la configuración. Alternativamente, los vértices de este gráfico se pueden interpretar como que representan los puntos de la configuración de Desargues, en cuyo caso los bordes conectan pares de puntos para los cuales la línea que los conecta no forma parte de la configuración. Esta publicación marca la primera aparición conocida del gráfico de Petersen en la literatura matemática, 12 años antes de que Julius Petersen usara el mismo gráfico como contraejemplo de un problema de coloración de bordes .
Configuraciones relacionadas
Como configuración proyectiva, la configuración de Desargues tiene la notación (10 3 10 3 ), lo que significa que cada uno de sus diez puntos es incidente a tres líneas y cada una de sus diez líneas es incidente a tres puntos. Sus diez puntos pueden verse de una manera única como un par de pentágonos inscritos mutuamente , o como un decágono autoinscrito ( Hilbert y Cohn-Vossen 1952 ). El gráfico de Desargues , un gráfico cúbico simétrico bipartito de 20 vértices , se llama así porque se puede interpretar como el gráfico de Levi de la configuración de Desargues, con un vértice para cada punto y línea de la configuración y un borde para cada línea de punto incidente. par.
También existen otras ocho configuraciones (10 3 10 3 ) (es decir, conjuntos de puntos y líneas en el plano euclidiano con tres líneas por punto y tres puntos por línea) que no son de incidencia-isomorfa a la configuración de Desargues, una de las cuales se muestra a la derecha. En todas estas configuraciones, cada punto tiene otros tres puntos que no son colineales con él. Pero en la configuración de Desargues, estos tres puntos son siempre colineales entre sí (si el punto elegido es el centro de la perspectiva, entonces los tres puntos forman el eje de la perspectiva) mientras que en la otra configuración que se muestra en la ilustración estos tres puntos forman una triángulo de tres líneas. Al igual que con la configuración de Desargues, la otra configuración representada se puede ver como un par de pentágonos inscritos mutuamente.
Referencias
- Barnes, John (2012), "Dualidad en tres dimensiones" , Gems of Geometry , Springer, págs. 95–97, ISBN 9783642309649
- Coxeter, HSM (1964), Geometría proyectiva , Nueva York: Blaisdell, págs. 26-27
- Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2ª ed.), Nueva York: Chelsea, págs. 119-128, ISBN 0-8284-1087-9
- Kempe, AB (1886), "Memorias sobre la teoría de la forma matemática", Transacciones filosóficas de la Royal Society of London , 177 : 1–70, doi : 10.1098 / rstl.1886.0002
- Stroppel, Bernhild; Stroppel, Markus (2013), "Desargues, tapete, dualidades e isomorfismos excepcionales" (PDF) , Australasian Journal of Combinatorics , 57 : 257
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Configuración de Desargues" . MathWorld .