Teorema de Peter-Weyl
En matemáticas , el teorema de Peter-Weyl es un resultado básico en la teoría del análisis armónico , que se aplica a grupos topológicos que son compactos , pero no necesariamente abelianos . Fue inicialmente probado por Hermann Weyl , con su alumno Fritz Peter , en el marco de un grupo topológico compacto G ( Peter & Weyl 1927 ). El teorema es una colección de resultados que generalizan los hechos significativos sobre la descomposición de la representación regular de cualquier grupo finito , tal como lo descubrió Ferdinand Georg Frobenius .e Issai Schur .
Sea G un grupo compacto. El teorema tiene tres partes. La primera parte establece que los coeficientes de la matriz de representaciones irreducibles de G son densos en el espacio C ( G ) de funciones continuas de valor complejo en G , y por lo tanto también en el espacio L 2 ( G ) de funciones integrables al cuadrado . La segunda parte afirma la reducibilidad completa de las representaciones unitarias de G . La tercera parte afirma entonces que la representación regular de G en L 2 ( G) se descompone como la suma directa de todas las representaciones unitarias irreducibles. Además, los coeficientes matriciales de las representaciones unitarias irreducibles forman una base ortonormal de L 2 ( G ). En el caso de que G sea el grupo de números complejos unitarios, este último resultado es simplemente un resultado estándar de la serie de Fourier.
Un coeficiente de matriz del grupo G es una función de valores complejos en G dada como la composición
donde π : G → GL( V ) es una representación de grupo de dimensión finita ( continua ) de G , y L es un funcional lineal en el espacio vectorial de endomorfismos de V (por ejemplo, traza), que contiene GL( V ) como un abierto subconjunto. Los coeficientes de matriz son continuos, ya que las representaciones son, por definición, continuas, y los funcionales lineales en espacios de dimensión finita también son continuos.
Teorema de Peter-Weyl (Parte I). El conjunto de coeficientes matriciales de G es denso en el espacio de funciones complejas continuas C( G ) sobre G , dotadas de la norma uniforme .
Este primer resultado se asemeja al teorema de Stone-Weierstrass en que indica la densidad de un conjunto de funciones en el espacio de todas las funciones continuas, sujeto únicamente a una caracterización algebraica . De hecho, los coeficientes de matriz forman un álgebra unitaria invariante bajo conjugación compleja porque el producto de dos coeficientes de matriz es un coeficiente de matriz de la representación del producto tensorial, y el conjugado complejo es un coeficiente de matriz de la representación dual. Por lo tanto, el teorema se sigue directamente del teorema de Stone-Weierstrass si los coeficientes de la matriz separan puntos, lo cual es obvio si G es un grupo de matrices ( Knapp 1986, pags. 17). Por el contrario, es una consecuencia del teorema que cualquier grupo de Lie compacto es isomorfo a un grupo matricial ( Knapp 1986 , Teorema 1.15).