En el análisis matemático , y especialmente en el análisis funcional , el espacio de funciones continuas juega un papel fundamental en un espacio compacto de Hausdorff. con valores en números reales o complejos . Este espacio, denotado por, es un espacio vectorial con respecto a la suma puntual de funciones y la multiplicación escalar por constantes. Es, además, un espacio normado con norma definida por
la norma uniforme . La norma uniforme define la topología de convergencia uniforme de funciones en. El espacioes un álgebra de Banach con respecto a esta norma. ( Rudin 1973 , §11.3)
Propiedades
- Según el lema de Urysohn , separa puntos de: Si son puntos distintos, entonces hay un tal que .
- El espacio es de dimensión infinita siempre que X es un espacio infinito (ya que separa puntos). Por tanto, en particular, generalmente no es localmente compacto .
- El teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani da una caracterización del espacio dual continuo de. Específicamente, este espacio dual es el espacio de las medidas de Radon en X ( medidas regulares de Borel ), denotado por rca ( X ). Este espacio, con la norma dada por la variación total de una medida, es también un espacio de Banach perteneciente a la clase de espacios ba . ( Dunford y Schwartz 1958 , §IV.6.3)
- Funcionales lineales positivos encorresponden a medidas Borel regulares (positivas) en, por una forma diferente del teorema de representación de Riesz. ( Rudin 1966 , Capítulo 2)
- Si X es infinito, entoncesno es reflexivo ni está débilmente completo .
- El teorema de Arzelà-Ascoli es válido: un subconjunto K dees relativamente compacto si y sólo si está acotado en la norma dey equicontinuo .
- El teorema de Stone-Weierstrass es válido para. En el caso de funciones reales, si A es un subanillo deque contiene todas las constantes y separa puntos, entonces el cierre de A es. En el caso de funciones complejas, el enunciado se cumple con la hipótesis adicional de que A está cerrado bajo una conjugación compleja .
- Si X e Y son dos espacios compactos de Hausdorff, yes un homomorfismo de álgebras que conmuta con conjugación compleja, entonces F es continua. Además, F tiene la forma F ( h ) ( y ) = h ( f ( y )) para alguna función continua ƒ : Y → X . En particular, si C ( X ) y C ( Y ) son isomorfos como álgebras, entonces X e Y son espacios topológicos homeomorfos .
- Sea Δ el espacio de ideales máximos en. Entonces hay una correspondencia uno a uno entre Δ y los puntos de. Además, Δ se puede identificar con la colección de todos los homomorfismos complejos→ C . Equipar Δ con la topología inicial con respecto a este emparejamiento con(es decir, la transformada Gelfand ). Luegoes homeomorfo a Δ equipado con esta topología. ( Rudin 1973 , §11.13)
- Una secuencia en es débilmente Cauchy si y solo si está (uniformemente) acotado eny convergente puntual. En particular, es solo débilmente completo para un conjunto finito.
- La topología vaga es la topología débil * en el dual de.
- El teorema de Banach-Alaoglu implica que cualquier espacio normado es isométricamente isomorfo a un subespacio de C ( X ) para algunos X .
Generalizaciones
El espacio C ( X ) de funciones continuas reales o con valores complejos se puede definir en cualquier espacio topológico X . En el caso no compacto, sin embargo, C ( X ) no es en general un espacio de Banach con respecto a la norma uniforme ya que puede contener funciones ilimitadas. Por lo tanto, es más típico que considerar el espacio, denota aquí C B ( X ) de funciones continuas delimitadas en X . Este es un espacio de Banach (de hecho, un álgebra de Banach conmutativa con identidad) con respecto a la norma uniforme. ( Hewitt y Stromberg 1965 , Teorema 7.9)
A veces es deseable, particularmente en la teoría de la medida , refinar aún más esta definición general considerando el caso especial cuando X es un espacio de Hausdorff localmente compacto . En este caso, es posible identificar un par de subconjuntos distinguidos de C B ( X ): ( Hewitt & Stromberg 1965 , §II.7)
- C 00 ( X ), el subconjunto de C ( X ) que consta de funciones con soporte compacto . A esto se le llama espacio de funciones que se desvanecen en una vecindad del infinito .
- C 0 ( X ), el subconjunto de C ( X ) que consta de funciones tales que para cada ε> 0, existe un conjunto compacto K ⊂ X tal que | f ( x ) | <Ε para todo x ∈ X \ K . A esto se le llama espacio de funciones que desaparecen en el infinito .
El cierre de C 00 ( X ) es precisamente C 0 ( X ). En particular, este último es un espacio de Banach.
Referencias
- Dunford, N .; Schwartz, JT (1958), Operadores lineales, Parte I , Wiley-Interscience.
- Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag.
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Rudin, Walter (1966), Análisis real y complejo , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1.