En geometría , un decágono (del griego δέκα déka y γωνία gonía, "diez ángulos") es un polígono de diez lados o 10-gon. [1] La suma total de los ángulos interiores de un decágono simple es 1440 °.
Decágono regular | |
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Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 10 |
Símbolo de Schläfli | {10}, t {5} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diedro (D 10 ), orden 2 × 10 |
Ángulo interno ( grados ) | 144 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
A autointerseca decágono regular es conocido como un decagramo .
Decágono regular
Un decágono regular tiene todos los lados de la misma longitud y cada ángulo interno siempre será igual a 144 °. [1] Su símbolo Schläfli es {10} [2] y también se puede construir como un pentágono truncado , t {5}, un decágono cuasirregular que alterna dos tipos de aristas.
Área
El área de un decágono regular de lado a está dada por: [3]
En términos del apotema r (ver también figura inscrita ), el área es:
En términos del circunradio R , el área es:
Una fórmula alternativa es donde d es la distancia entre lados paralelos, o la altura cuando el decágono se encuentra en un lado como base, o el diámetro del círculo inscrito del decágono . Por simple trigonometría ,
y se puede escribir algebraicamente como
Lados
Un decágono regular tiene 10 lados y es equilátero . Tiene 35 diagonales
Construcción
Como 10 = 2 × 5, una potencia de dos veces un número primo de Fermat , se deduce que un decágono regular se puede construir usando compás y regla , o mediante una bisección de borde de un pentágono regular . [4]
Un método alternativo (pero similar) es el siguiente:
- Construya un pentágono en un círculo mediante uno de los métodos que se muestran al construir un pentágono .
- Extiende una línea desde cada vértice del pentágono a través del centro del círculo hasta el lado opuesto de ese mismo círculo. Donde cada línea corta el círculo es un vértice del decágono.
- Las cinco esquinas del pentágono constituyen esquinas alternas del decágono. Une estos puntos a los nuevos puntos adyacentes para formar el decágono.
Decagón regular no convexo
La razón de longitud de dos aristas desiguales de un triángulo áureo es la razón áurea , denotadao su inverso multiplicativo :
Entonces podemos obtener las propiedades de una estrella decagonal regular, a través de un mosaico de triángulos dorados que llena este polígono estelar .
La proporción áurea en decágono
Tanto en la construcción con circunferencia circunscrita [5] como con la longitud lateral dada, la proporción áurea que divide un segmento de línea por la división exterior es el elemento constructivo determinante.
- En la construcción con circunferencia dada, el arco circular alrededor de G con radio GE 3 produce el segmento AH , cuya división corresponde a la proporción áurea.
- En la construcción con longitud de lado dada [6], el arco circular alrededor de D con radio DA produce el segmento E 10 F , cuya división corresponde a la proporción áurea .
Simetría
El decágono regular tiene simetría Dih 10 , orden 20. Hay 3 simetrías diédricas de subgrupos: Dih 5 , Dih 2 y Dih 1 , y 4 simetrías de grupos cíclicos : Z 10 , Z 5 , Z 2 y Z 1 .
Estas 8 simetrías se pueden ver en 10 simetrías distintas en el decágono, un número mayor porque las líneas de reflejos pueden atravesar vértices o bordes. John Conway los etiqueta por carta y orden de grupo. [7] La simetría completa de la forma regular es r20 y ninguna simetría se etiqueta a1 . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ( d para diagonales) o bordes ( p para perpendiculares), yi cuando las líneas de reflexión atraviesan ambos bordes y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro central.
La simetría de cada subgrupo permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g10 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Los decágonos irregulares de mayor simetría son d10 , un decágono isogonal construido por cinco espejos que pueden alternar bordes largos y cortos, y p10 , un decágono isotóxico , construido con longitudes de borde iguales, pero vértices alternando dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del decágono regular.
Disección
Proyección de 10 cubos | 40 disección de rombos | |||
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Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. [8] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformes, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el decágono regular , m = 5, y se puede dividir en 10 rombos, con ejemplos que se muestran a continuación. Esta descomposición se puede ver como 10 de 80 caras en un plano de proyección del polígono de Petrie del 5-cubo . Una disección se basa en 10 de 30 caras del triacontaedro rómbico . La lista OEIS : A006245 define el número de soluciones como 62, con 2 orientaciones para la primera forma simétrica y 10 orientaciones para las otras 6.
5 cubos | |||
Inclinar decágono
{5} # {} | {5/2} # {} | {5/3} # {} |
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Un decágono sesgado regular se ve como bordes en zigzag de un antiprisma pentagonal , un antiprisma pentagrammico y un antiprisma cruzado pentagrammico . |
Un decágono sesgado es un polígono sesgado con 10 vértices y aristas, pero que no existe en el mismo plano. El interior de un decágono de este tipo no está generalmente definido. Un decágono en zig-zag sesgado tiene vértices que alternan entre dos planos paralelos.
Un decágono de sesgo regular es transitivo a vértices con longitudes de arista iguales. En 3-dimensiones que será un decágono skew zig-zag y se puede ver en los vértices y aristas laterales de una antiprisma pentagonal , antiprisma pentagrammic , y pentagrammic-antiprisma cruzado con el mismo D 5d , [2 + , 10] simetría, orden 20.
Estos también se pueden ver en estos 4 poliedros convexos con simetría icosaédrica . Los polígonos en el perímetro de estas proyecciones son decagones sesgados regulares.
Dodecaedro | Icosaedro | Icosidodecaedro | Triacontaedro rómbico |
Polígonos de Petrie
El decágono de sesgo regular es el polígono de Petrie para muchos politopos de dimensiones superiores, mostrado en estas proyecciones ortogonales en varios planos de Coxeter : [9] El número de lados en el polígono de Petrie es igual al número de Coxeter , h , para cada familia de simetría.
A 9 | D 6 | B 5 | ||
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9 simplex | 4 11 | 1 31 | 5-ortoplex | 5 cubos |
Ver también
- Número decagonal y número decagonal centrado , números figurados modelados en el decágono
- Decagram , un polígono en estrella con las mismas posiciones de vértice que el decágono regular
Referencias
- ↑ a b Sidebotham, Thomas H. (2003), The A to Z of Mathematics: A Basic Guide , John Wiley & Sons, p. 146, ISBN 9780471461630.
- ^ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models , Cambridge University Press, pág. 9, ISBN 9780521098595.
- ^ Los elementos de la trigonometría plana y esférica , Sociedad para la Promoción del Conocimiento Cristiano, 1850, p. 59. Tenga en cuenta que esta fuente utiliza a como la longitud del borde y proporciona el argumento de la cotangente como un ángulo en grados en lugar de radianes.
- ^ Ludlow, Henry H. (1904), Construcción geométrica del decágono regular y el Pentágono inscrito en un círculo , The Open Court Publishing Co..
- ^ a b Green, Henry (1861), Geometría plana de Euclides, Libros III-VI, Prácticamente aplicados, o gradaciones en Euclides, Parte II , Londres: Simpkin, Marshall, & CO., P. 116. Consultado el 10 de febrero de 2016.
- ^ a b Köller, Jürgen (2005), Regelmäßiges Zehneck, → 3. Sección "Formeln, Ist die Seite a gegeben ..." (en alemán). Consultado el 10 de febrero de 2016.
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275-278)
- ^ Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141
- ^ Coxeter, Politopos regulares, 12.4 Polígono de Petrie, págs. 223-226.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Decagon" . MathWorld .
- Definición y propiedades de un decágono con animación interactiva