En matemáticas , un mapa regular es una teselación simétrica de una superficie cerrada . Más precisamente, un mapa regular es una descomposición de una variedad bidimensional (como una esfera , un toro o un plano proyectivo real ) en discos topológicos de modo que cada bandera (un triple incidente vértice-borde-cara) se puede transformar en cualquier otra bandera por una simetría de la descomposición. Los mapas regulares son, en cierto sentido, generalizaciones topológicas de sólidos platónicos . La teoría de mapas y su clasificación está relacionada con la teoría deSuperficies de Riemann , geometría hiperbólica y teoría de Galois . Los mapas regulares se clasifican según: el género y la orientabilidad de la superficie de apoyo, el gráfico subyacente o el grupo de automorfismos .
Descripción general
Los mapas regulares se definen y estudian típicamente de tres maneras: topológicamente, teóricamente de grupos y teóricamente de grafos.
Enfoque topológico
Topológicamente, un mapa es una descomposición de 2 celdas de una variedad compacta cerrada de 2.
El género g, de un mapa M viene dado por la relación de Euler que es igual a si el mapa es orientable, y si el mapa no es orientable. Es un hecho crucial que existe un número finito (distinto de cero) de mapas regulares para cada género orientable excepto el toro.
Enfoque teórico de grupo
En teoría de grupos, la representación de permutación de un mapa regular M es un grupo de permutación transitiva C , en un conjuntode banderas , generadas por tres involuciones libres de coma fija r 0 , r 1 , r 2 satisfaciendo (r 0 r 2 ) 2 = I. En esta definición, las caras son las órbitas de F = < r 0 , r 1 >, aristas son las órbitas de E = < r 0 , r 2 >, y los vértices son las órbitas de V = < r 1 , r 2 >. De manera más abstracta, el grupo de automorfismos de cualquier mapa regular es la imagen homomórfica no degenerada de un grupo de triángulos <2, m, n> .
Enfoque gráfico-teórico
En teoría, un mapa es un gráfico cúbico. con bordes de color azul, amarillo, rojo de modo que: está conectado, cada vértice es incidente a una arista de cada color y los ciclos de aristas que no son de color amarillo tienen una longitud 4. Tenga en cuenta que es el gráfico de banderas o mapa codificado en gráficos (GEM) del mapa, definido en el conjunto de banderas de vérticey no es el esqueleto G = (V, E) del mapa. En general, || = 4 | E |.
Un mapa M es regular si Aut (M) actúa regularmente sobre las banderas. Aut ( M ) de un mapa regular es transitivo en los vértices, bordes y caras de M . Se dice que un mapa M es reflexible si Aut ( M ) es regular y contiene un automorfismoque fija tanto un vértice v como una cara f , pero invierte el orden de las aristas. Se dice que un mapa que es regular pero no reflexible es quiral .
Ejemplos de
- El gran dodecaedro es un mapa regular con caras pentagonales en la superficie orientable del género 4.
- El hemicubo es un mapa regular de tipo {4,3} en el plano proyectivo .
- El hemi-dodecaedro es un mapa regular producido por la incrustación pentagonal del gráfico de Petersen en el plano proyectivo.
- El p- hosoedro es un mapa regular de tipo {2, p}.
- El mapa de Dyck es un mapa regular de 12 octágonos en una superficie de género 3. Su gráfico subyacente, el gráfico de Dyck , también puede formar un mapa regular de 16 hexágonos en un toro.
La siguiente es una lista completa de mapas regulares en superficies de característica de Euler positiva , χ: la esfera y el plano proyectivo. [1]
χ | gramo | Schläfli | Vert. | Bordes | Caras | Grupo | Pedido | Grafico | Notas | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 0 | {p, 2} | pag | pag | 2 | C 2 × Dih p | 4 p | C p | Dihedron | |
2 | 0 | {2, p} | 2 | pag | pag | C 2 × Dih p | 4 p | p- pliegue K 2 | Hosoedro | |
2 | 0 | {3,3} | 4 | 6 | 4 | S 4 | 24 | K 4 | Tetraedro | |
2 | 0 | {4,3} | 8 | 12 | 6 | C 2 × S 4 | 48 | K 4 × K 2 | Cubo | |
2 | 0 | {3,4} | 6 | 12 | 8 | C 2 × S 4 | 48 | K 2,2,2 | Octaedro | |
2 | 0 | {5,3} | 20 | 30 | 12 | C 2 × A 5 | 120 | Dodecaedro | ||
2 | 0 | {3,5} | 12 | 30 | 20 | C 2 × A 5 | 120 | K 6 × K 2 | Icosaedro | |
1 | n1 | {2p, 2} / 2 | pag | pag | 1 | Dih 2 p | 4 p | C p | Hemi-dihedron [2] | |
1 | n1 | {2,2p} / 2 | 2 | pag | pag | Dih 2 p | 4 p | p- pliegue K 2 | Hemi-hosoedro [2] | |
1 | n1 | {4,3} / 2 | 4 | 6 | 3 | S 4 | 24 | K 4 | Hemicubo | |
1 | n1 | {3,4} / 2 | 3 | 6 | 4 | S 4 | 24 | 2 veces K 3 | Hemioctaedro | |
1 | n1 | {5,3} / 2 | 10 | 15 | 6 | A 5 | 60 | Gráfico de Petersen | Hemidodecaedro | |
1 | n1 | {3,5} / 2 | 6 | 15 | 10 | A 5 | 60 | K 6 | Hemi-icosaedro |
Las imágenes a continuación muestran tres de los 20 mapas regulares en el triple toro , etiquetados con sus símbolos Schläfli .
{6,4}
{4,8}
{8,4}
Poliedros toroidales
{4,4} 1,0 (v: 1, e: 2, f: 1) | {4,4} 1,1 (v: 2, e: 4, f: 2) | {4,4} 2,0 (v: 4, e: 8, f: 4) | {4,4} 2,1 (v: 5, e: 10, f: 5) | {4,4} 2,2 (v: 8, e: 16, f: 8) |
{3,6} 1,0 (v: 1, e: 3, f: 2) | {3,6} 1,1 (v: 3, e: 9, f: 6) | {3,6} 2,0 (v: 4, e: 8, f: 8) | {3,6} 2,1 (v: 7, e: 21, f: 14) | {3,6} 2,2 (v: 12, e: 36, f: 24) |
{6,3} 1,0 (v: 2, e: 3, f: 1) | {6,3} 1,1 (v: 6, e: 9, f: 3) | {6,3} 2,0 (v: 8, e: 8, f: 4) | {6,3} 2,1 (v: 14, e: 21, f: 7) | {6,3} 2,2 (v: 24, e: 36, f: 12) |
Los mapas regulares existen como poliedros toroédricos como porciones finitas de mosaicos euclidianos, envueltos en la superficie de un duocilindro como un toro plano . Estos están etiquetados como {4,4} b , c para los relacionados con el mosaico cuadrado , {4,4}. [3] {3,6} b , c están relacionados con el mosaico triangular , {3,6} y {6,3} b , c relacionado con el mosaico hexagonal , {6,3}. b y c son números enteros . [4] Hay 2 casos especiales ( b , 0) y ( b , b ) con simetría reflectante, mientras que los casos generales existen en pares quirales ( b , c ) y ( c , b ).
Los mapas regulares de la forma {4,4} m , 0 se pueden representar como el poliedro oblicuo regular finito {4,4 | m }, visto como las caras cuadradas de un duoprisma m × m en 4 dimensiones.
Aquí hay un ejemplo {4,4} 8,0 mapeado desde un plano como un tablero de ajedrez a una sección de cilindro a un toro. La proyección de un cilindro a un toro distorsiona la geometría en 3 dimensiones, pero se puede hacer sin distorsión en 4 dimensiones.
χ | gramo | Schläfli | Vert. | Bordes | Caras | Grupo | Pedido | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | {4,4} b , 0 n = b 2 | norte | 2 n | norte | [4,4] ( b , 0) | 8 n | Poliedros toroidales planos Igual que {4,4 | b } |
0 | 1 | {4,4} b , b n = 2 b 2 | norte | 2 n | norte | [4,4] ( b , b ) | 8 n | Poliedros toroidales planos Igual que rectificado {4,4 | b } |
0 | 1 | {4,4} b , c n = b 2 + c 2 | norte | 2 n | norte | [4,4]+ ( b , c ) | 4 n | Poliedros toroidales quirales planos |
0 | 1 | {3,6} b , 0 t = b 2 | t | 3 t | 2 t | [3,6] ( b , 0) | 12 t | Poliedros planos toroidales |
0 | 1 | {3,6} b , b t = 2 b 2 | t | 3 t | 2 t | [3,6] ( b , b ) | 12 t | Poliedros planos toroidales |
0 | 1 | {3,6} b , c t = b 2 + bc + c 2 | t | 3 t | 2 t | [3,6]+ ( b , c ) | 6 t | Poliedros toroidales quirales planos |
0 | 1 | {6,3} b , 0 t = b 2 | 2 t | 3 t | t | [3,6] ( b , 0) | 12 t | Poliedros planos toroidales |
0 | 1 | {6,3} b , b t = 2 b 2 | 2 t | 3 t | t | [3,6] ( b , b ) | 12 t | Poliedros planos toroidales |
0 | 1 | {6,3} b , c t = b 2 + bc + c 2 | 2 t | 3 t | t | [3,6]+ ( b , c ) | 6 t | Poliedros toroidales quirales planos |
En poliedros toroidales generalmente regulares { p , q } b , c se puede definir si p o q son pares, aunque solo los euclidianos anteriores pueden existir como poliedros toroidales en 4 dimensiones. En {2 p , q }, las trayectorias ( b , c ) se pueden definir como escalonadas cara-borde-cara en líneas rectas, mientras que las formas duales { p , 2 q } verán las trayectorias ( b , c ) como escalonadas vértice-borde-vértice en líneas rectas.
Ver también
- Teoría de grafos topológicos
- Politopo abstracto
- Gráfico plano
- Gráfico toroidal
- Incrustación de gráficos
- Azulejos regulares
- Sólido platónico
- Gráfico platónico
Referencias
- ^ Coxeter (1980)
- ^ a b Séquin, Carlo. "Inmersiones simétricas de mapas regulares no orientables de género bajo" (PDF) . Universidad de Berkeley .
- ^ Coxeter 1980, 8.3 Mapas de tipo {4,4} en un toro.
- ^ Coxeter 1980, 8.4 Mapas de tipo {3,6} o {6,3} en un toro.
- ^ Coxeter y Moser, Generadores y relaciones para grupos discretos , 1957, Capítulo 8, Mapas regulares , 8.3 Mapas de tipo {4,4} en un toro, 8.4 Mapas de tipo {3,6} o {6,3} en un toro
- Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980), Generadores y relaciones para grupos discretos , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 14 (4a ed.), Springer Verlag, ISBN 978-0-387-09212-6.
- van Wijk, Jarke J. (2009), "Mosaico simétrico de superficies cerradas: visualización de mapas regulares" (PDF) , Proc. SIGGRAPH (ACM Transactions on Graphics) , 28 (3): 12, doi : 10.1145 / 1531326.1531355 , archivado desde el original ( PDF ) en 2011-06-09.
- Conder, Marston ; Dobcsányi, Peter (2001), "Determinación de todos los mapas regulares de géneros pequeños", Journal of Combinatorial Theory, Serie B , 81 (2): 224–242, doi : 10.1006 / jctb.2000.2008.
- Nedela, Roman (2007), mapas, hipermapas y temas relacionados (PDF).
- Vince, Andrew (2004), "Mapas", Manual de teoría de grafos.
- Brehm, Ulrich; Schulte, Egon (2004), "Mapas poliédricos", Manual de geometría discreta y computacional.