En matemáticas , un operador delta es un operador lineal equivariante de desplazamientoen el espacio vectorial de polinomios en una variablesobre un campo que reduce los grados en uno.
Para decir eso es equivariante de desplazamiento significa que si, luego
En otras palabras, si es un " cambio " de, luego es también un cambio de y tiene el mismo " vector de desplazamiento ".
Decir que un operador reduce el grado en uno significa que si es un polinomio de grado , luego es un polinomio de grado , o, en caso de , es 0.
A veces, un operador delta se define como una transformación lineal equivariante de desplazamiento en polinomios en que mapas a una constante distinta de cero. Aparentemente más débil que la definición dada anteriormente, se puede demostrar que esta última caracterización es equivalente a la definición establecida cuando tiene la característica cero, ya que la equivariancia de desplazamiento es una condición bastante fuerte.
Ejemplos de
- El operador de diferencia a plazo
- es un operador delta.
- La diferenciación con respecto ax , escrita como D , también es un operador delta.
- Cualquier operador del formulario
- (donde D n (ƒ) = ƒ ( n ) es la n- ésima derivada) con es un operador delta. Se puede demostrar que todos los operadores delta se pueden escribir de esta forma. Por ejemplo, el operador de diferencia dado anteriormente se puede expandir como
- La derivada generalizada del cálculo de escala de tiempo que unifica el operador de diferencia hacia adelante con la derivada del cálculo estándar es un operador delta.
- En informática y cibernética , el término "operador delta de tiempo discreto" (δ) generalmente se considera un operador de diferencia.
- la aproximación de Euler de la derivada habitual con un tiempo de muestra discreto . La formulación delta obtiene un número significativo de ventajas numéricas en comparación con el operador de turno en el muestreo rápido.
Polinomios básicos
Cada operador delta tiene una secuencia única de "polinomios básicos", una secuencia polinomial definida por tres condiciones:
Esta secuencia de polinomios básicos es siempre de tipo binomial y se puede demostrar que no existen otras secuencias de tipo binomial. Si se descartan las dos primeras condiciones anteriores, entonces la tercera condición dice que esta secuencia polinomial es una secuencia de Sheffer, un concepto más general.
Ver también
Referencias
- Nikol'Skii, Nikolai Kapitonovich (1986), Tratado sobre el operador de desplazamiento: teoría de la función espectral , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-15021-5