El movimiento de un pistón no desplazado conectado a una manivela a través de una biela (como se encontraría en los motores de combustión interna ), se puede expresar mediante varias ecuaciones matemáticas . Este artículo muestra cómo se derivan estas ecuaciones de movimiento y muestra un gráfico de ejemplo.
Geometría del cigüeñal
Definiciones
- longitud de la varilla (distancia entre el pasador del pistón y el pasador del cigüeñal )
- radio de la manivela (distancia entre el eje de la manivela y el centro de la manivela, es decir, media carrera )
- ángulo del cigüeñal (desde la línea central del orificio del cilindro en TDC )
- Posición del pasador del pistón (hacia arriba desde el centro del cigüeñal a lo largo de la línea central del orificio del cilindro)
- velocidad del pasador del pistón (hacia arriba desde el centro del cigüeñal a lo largo de la línea central del orificio del cilindro)
- Aceleración del pasador del pistón (hacia arriba desde el centro del cigüeñal a lo largo de la línea central del orificio del cilindro)
- velocidad angular de manivela
Velocidad angular
La velocidad angular del cigüeñal está relacionada con las revoluciones por minuto (RPM) del motor :
Relación triangular
Como se muestra en el diagrama, el pasador del cigüeñal , el centro del cigüeñal y el pasador del pistón forman el triángulo NOP.
Por la ley del coseno se ve que:
Ecuaciones con respecto a la posición angular (dominio del ángulo)
Las ecuaciones que siguen describen el movimiento alternativo del pistón con respecto al ángulo del cigüeñal. A continuación se muestran gráficos de ejemplo de estas ecuaciones.
Posición
Posición con respecto al ángulo del cigüeñal (de la relación del triángulo, completando el cuadrado , utilizando la identidad pitagórica y reordenando):
Velocidad
Velocidad con respecto al ángulo del cigüeñal (tome la primera derivada , usando la regla de la cadena ):
(si desea manipular más esto, agregue una subsección aquí, que incluya una explicación de la intención (por ejemplo, "aislar los términos del pecado")).
Aceleración
Aceleración con respecto al ángulo del cigüeñal (tome la segunda derivada , usando la regla de la cadena y la regla del cociente ):
(si desea manipular más esto, agregue una subsección aquí, que incluya una explicación de la intención (por ejemplo, "aislar los términos del pecado")).
Ecuaciones con respecto al tiempo (dominio del tiempo)
Derivadas de velocidad angular
Si la velocidad angular es constante, entonces
y se aplican las siguientes relaciones:
Conversión de dominio de ángulo a dominio de tiempo
Las ecuaciones que siguen describen el movimiento alternativo del pistón con respecto al tiempo. Si se requiere el dominio del tiempo en lugar del dominio del ángulo, primero reemplace A con ω t en las ecuaciones, y luego escale para la velocidad angular de la siguiente manera:
Posición
La posición con respecto al tiempo es simplemente:
Velocidad
Velocidad con respecto al tiempo (usando la regla de la cadena ):
Aceleración
Aceleración con respecto al tiempo (usando la regla de la cadena y la regla del producto , y las derivadas de la velocidad angular ):
Escala de velocidad angular
Puede ver que x no tiene escala, x 'tiene una escala de ω y x "tiene una escala de ω ². Para convertir x' de velocidad frente a ángulo [m / rad] a velocidad frente a tiempo [m / s], multiplique x 'por ω [rad / s]. Para convertir x "de aceleración versus ángulo [m / rad²] a aceleración versus tiempo [m / s²], multiplique x" por ω ² [rad² / s²]. Tenga en cuenta que el análisis dimensional muestra que las unidades son consistente.
Máximos / mínimos de velocidad
Aceleración pasos por cero
Por definición, los máximos y mínimos de velocidad ocurren en los ceros de aceleración (cruces del eje horizontal) ; éstos dependen de la longitud de la varilla (l) y la media carrera (r) y no ocurren en ángulos de manivela (A) de ± 90 °.
Ángulo de la biela no en ángulo recto
Los máximos y mínimos de velocidad no ocurren necesariamente cuando la manivela forma un ángulo recto con la varilla. Existen contraejemplos para refutar la idea de que los máximos y mínimos de velocidad solo ocurren cuando el ángulo de la biela y el cigüeñal forma un ángulo recto.
Ejemplo
Para una longitud de varilla de 6 "y un radio de manivela de 2" (como se muestra en el gráfico de ejemplo a continuación), la resolución numérica de los cruces por cero de aceleración encuentra que la velocidad máxima / mínima se encuentra en ángulos de manivela de ± 73,17615 °. Luego, usando la ley triangular de los senos , se encuentra que el ángulo vertical de la varilla es 18.60647 ° y el ángulo de la varilla del cigüeñal es 88.21738 °. Claramente, en este ejemplo, el ángulo entre la manivela y la varilla no es un ángulo recto. Sumando los ángulos del triángulo 88.21738 ° + 18.60647 ° + 73.17615 ° da 180.00000 °. Un solo contraejemplo es suficiente para refutar la afirmación "los máximos / mínimos de velocidad ocurren cuando la manivela forma un ángulo recto con la varilla" .
Gráfico de ejemplo del movimiento del pistón
El gráfico muestra x, x ', x "con respecto al ángulo del cigüeñal para varias medias carreras, donde L = longitud de la varilla (l) y R = media carrera (r) :
Animación del movimiento del pistón con los mismos valores de longitud de varilla y radio de manivela en el gráfico anterior:
Ver también
- Motor de combustión interna
- Motor alternativo
- Varillaje deslizante-manivela
- Yugo escocés
Referencias
1. http://www.epi-eng.com/piston_engine_technology/piston_motion_basics.htm
Otras lecturas
- John Benjamin Heywood, Fundamentos de motores de combustión interna , McGraw Hill, 1989.
- Charles Fayette Taylor, El motor de combustión interna en teoría y práctica, vol. 1 y 2 , 2da edición, MIT Press 1985.
enlaces externos
- epi-eng Piston Motion
- codecogs Velocidad y Aceleración de un Pistón
- motores animados motor de cuatro tiempos
- animación de manivela interactiva desmos
- Mecanismos de D & T de networcs : herramientas interactivas para profesores
- animación de movimiento de pistón mecamedia
- youtube Chevy 350 giratorio de bloque corto.
- youtube Animación 3D de un MOTOR V8
- youtube Dentro de un motor V8 a ralentí
- desmos interactivo carrera vs relación de vástago posición y derivadas del pistón