En matemáticas , precisamente en la teoría de funciones de varias variables complejas , una función pluriharmónica es una función con valor real que es localmente la parte real de una función holomórfica de varias variables complejas. A veces, dicha función se denomina n -función armónica , donde n ≥ 2 es la dimensión del dominio complejo donde se define la función. [1] Sin embargo, en las exposiciones modernas de la teoría de funciones de varias variables complejas [2]Se prefiere dar una formulación equivalente del concepto, definiendo función pluriharmónica como una función de valor complejo cuya restricción a cada línea compleja es una función armónica con respecto a la parte real e imaginaria del parámetro de línea compleja.
Definicion formal
Definición 1 . Sea G ⊆ C n un dominio complejo y f : G → C una función C 2 (dos veces continuamente diferenciable ). La función f se llama pluriarmónica si, para cada línea compleja
formada mediante el uso de cada par de tuplas complejas a , b ∈ C n , la función
es una función armónica en el aparato
Propiedades básicas
Cada función pluriarmónica es una función armónica , pero no al revés. Además, se puede demostrar que para las funciones holomórficas de varias variables complejas, las partes reales (y las imaginarias) son funciones pluriarmónicas localmente. Sin embargo, que una función sea armónica en cada variable por separado no implica que sea pluriarmónica.
Ver también
Notas
- ↑ Ver, por ejemplo, ( Severi 1958 , p. 196) y ( Rizza 1955 , p. 202). Poincaré (1899 , pp. 111-112) llama a tales funciones " fonctions biharmoniques ", independientemente de la dimensión n ≥ 2: su artículo es quizás [ cita requerida ] el más antiguo en el que el operador pluriharmonic se expresa usando el diferencial parcial de primer orden operadores ahora llamados derivados de Wirtinger .
- ↑ Véase, por ejemplo, el popular libro de texto de Krantz (1992 , p. 92) y la monografía avanzada (aunque un poco desactualizada)de Gunning & Rossi (1965 , p. 271).
Referencias históricas
- Gunning, Robert C .; Rossi, Hugo (1965), Funciones analíticas de varias variables complejas , serie de Prentice-Hall en análisis moderno, Englewood Cliffs , Nueva Jersey: Prentice-Hall , págs. Xiv + 317, ISBN 9780821869536, MR 0180696 , Zbl 0.141,08601.
- Krantz, Steven G. (1992), Teoría de funciones de varias variables complejas , Wadsworth & Brooks / Cole Mathematics Series (Segunda ed.), Pacific Grove, California : Wadsworth & Brooks / Cole, págs. Xvi + 557, ISBN 0-534-17088-9, MR 1162310 , Zbl 0.776,32001.
- Poincaré, H. (1899), "Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes", Acta Mathematica (en francés), 22 (1): 89-178, doi : 10.1007 / BF02417872 , JFM 29.0370.02.
- Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse - Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica en Roma (en italiano), Padua: CEDAM - Casa Editrice Dott. Antonio Milani, págs. XIV + 255, Zbl 0094.28002. Apuntes de un curso impartido por Francesco Severi en el Istituto Nazionale di Alta Matematica (que en la actualidad lleva su nombre), que contiene apéndices de Enzo Martinelli , Giovanni Battista Rizza y Mario Benedicty . Una traducción al inglés del título dice: - " Conferencias sobre funciones analíticas de varias variables complejas - Conferencista en 1956–57 en el Istituto Nazionale di Alta Matematica en Roma ".
Referencias
- Amoroso, Luigi (1912), "Sopra un problema al contorno" , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (en italiano), 33 (1): 75–85, doi : 10.1007 / BF03015289 , JFM 43.0453.03. El primer trabajo donde se da un conjunto de condiciones necesarias y suficientes (bastante complicadas) para la solucion del problema de Dirichlet para funciones holomorfas de varias variables . Una traducción al inglés del título dice: - " Acerca de un problema de valor límite ".
- Fichera, Gaetano (1982a), "Problemi al contorno per le funzioni pluriarmoniche", Atti del Convegno celebrativo dell'80 ° anniversario della nascita di Renato Calapso, Messina – Taormina, 1-4 de abril de 1981 (en italiano), Roma: Libreria Eredi Virgilio Veschi, págs. 127-152, MR 0698973 , Zbl 0958.32504. " Problemas de valor en la frontera para funciones pluriarmónicas " (traducción al inglés del título) trata sobre problemas de valor en la frontera para funciones pluriarmónicas: Fichera demuestra una condición de seguimiento para la resolución del problema y revisa varios resultados anteriores de Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza y Francesco Severi.
- Fichera, Gaetano (1982b), "Valori al contorno delle funzioni pluriarmoniche: estensione allo spazio R 2 n di un teorema di L. Amoroso", Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano (en italiano), 52 (1): 23– 34, doi : 10.1007 / BF02924996 , MR 0.802.991 , Zbl 0.569,31006. Una traducción al inglés del título dice: - " Valores límite de funciones pluriarmónicas: extensión al espacio R 2 n de un teorema de L. Amoroso ".
- Fichera, Gaetano (1982c), "Su un teorema di L. Amoroso nella teoria delle funzioni analitiche di due variabili complesse", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (en italiano), 27 : 327–333, MR 0669481 , Zbl 0509.31007. Una traducción al inglés del título dice: - " Sobre un teorema de L. Amoroso en la teoría de funciones analíticas de dos variables complejas ".
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- Nikliborc, Ladislas (11 de enero de 1926), "Sur les fonctions hyperharmoniques" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (en francés), 182 : 110-112, JFM 52.0498.02, disponible en Gallica
- Rizza, GB (1955), "Problema de Dirichlet para n -funciones armónicas y problemas geométricos relacionados" , Mathematische Annalen , 130 : 202-218, doi : 10.1007 / BF01343349 , MR 0074881 , Zbl 0067.33004, disponible en DigiZeitschirften .
enlaces externos
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Función pluriharmónica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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