En geometría , un grupo de puntos bidimensionales o grupo de rosetas es un grupo de simetrías geométricas ( isometrías ) que mantienen al menos un punto fijo en un plano. Cada uno de estos grupos es un subgrupo del grupo ortogonal O (2), incluido el propio O (2). Sus elementos son rotaciones y reflexiones, y cada grupo que contiene sólo rotaciones es un subgrupo del grupo ortogonal especial SO (2), incluido el propio SO (2). Ese grupo es isomorfo a R / Z y el primer grupo unitario , U (1), un grupo también conocido como grupo circular .
Los grupos de puntos bidimensionales son importantes como base para los grupos de puntos tridimensionales axiales , con la adición de reflexiones en la coordenada axial. También son importantes en las simetrías de organismos, como estrellas de mar y medusas , y partes de organismos, como flores .
Grupos discretos
Hay dos familias de grupos de puntos discretos bidimensionales, y se especifican con el parámetro n , que es el orden del grupo de rotaciones en el grupo.
Grupo | Intl | Orbifold | Coxeter | Pedido | Descripción | |
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C n | norte | norte• | [n] + | norte | Cíclico: n- rotaciones. Grupo abstracto Z n , el grupo de números enteros bajo el módulo n de adición . | |
D n | n m | *norte• | [norte] | 2 n | Diédrico: n- rotaciones y n- reflexiones. Grupo abstracto Dih n , el grupo diedro . |
Intl se refiere a la notación Hermann-Mauguin o notación internacional, que se utiliza a menudo en cristalografía . En el límite infinito, estos grupos se convierten en grupos lineales unidimensionales .
Si un grupo es una simetría de una red o rejilla bidimensional , entonces el teorema de restricción cristalográfica restringe el valor de n a 1, 2, 3, 4 y 6 para ambas familias. Por tanto, hay 10 grupos de puntos cristalográficos bidimensionales :
- C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 6 ,
- D 1 , D 2 , D 3 , D 4 , D 6
Los grupos se pueden construir de la siguiente manera:
- C n . Generado por un elemento también llamado C n , que corresponde a una rotación por ángulo 2π / n . Sus elementos son E (la identidad), C n , C n 2 , ..., C n n −1 , correspondientes a los ángulos de rotación 0, 2π / n , 4π / n , ..., 2 ( n - 1) π / n .
- D n . Generado por el elemento C n y la reflexión σ. Sus elementos son los elementos del grupo C n , con los elementos σ, C n σ, C n 2 σ, ..., C n n −1 σ sumados. Estos adicionales corresponden a reflexiones a través de líneas con ángulos de orientación 0, π / n , 2π / n , ..., ( n - 1) π / n . Por tanto, D n es un producto semidirecto de C n y el grupo (E, σ).
Todos estos grupos tienen grupos abstractos distintos, excepto C 2 y D 1 , que comparten el grupo abstracto Z 2 . Todos los grupos cíclicos son abelianos o conmutativos, pero solo dos de los grupos diedros son: D 1 ~ Z 2 y D 2 ~ Z 2 × Z 2 . De hecho, D 3 es el grupo no beliano más pequeño.
Para n pares , el símbolo de Hermann-Mauguin n m es una abreviatura del símbolo completo n mm, como se explica a continuación. La n en el símbolo HM denota n rotaciones, mientras que la m denota planos de reflexión o espejo.
Paridad de n | Internacional completo | Líneas de reflexión para polígono regular |
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Incluso n | n mm | vértice a vértice, centro de borde a centro de borde (2 familias, 2 m) |
Impar n | n m | vértice al centro del borde (1 familia, 1 m) |
Grupos más generales
Estos grupos se construyen fácilmente con matrices ortogonales bidimensionales .
El grupo cíclico continuo SO (2) o C ∞ y sus subgrupos tienen elementos que son matrices de rotación:
donde SO (2) tiene cualquier posible θ. No es sorprendente que SO (2) y sus subgrupos sean todos abelianos; adición de ángulos de rotación conmuta.
Para grupos cíclicos discretos C n , elementos C n k = R (2π k / n )
El grupo diedro continuo O (2) o D ∞ y sus subgrupos con reflexiones tienen elementos que incluyen no solo matrices de rotación, sino también matrices de reflexión:
donde O (2) tiene cualquier posible θ. Sin embargo, los únicos subgrupos abelianos de O (2) con reflejos son D 1 y D 2 .
Para grupos diédricos discretos D n , elementos C n k σ = S (2π k / n )
Cuando se utilizan coordenadas polares, la relación de estos grupos con los grupos de simetría unidimensionales se hace evidente.
Tipos de subgrupos de SO (2):
- subgrupos cíclicos finitos C n ( n ≥ 1); para cada n hay un grupo de isometría, de tipo de grupo abstracto Z n
- grupos generados finitamente , cada uno isomorfo a uno de la forma Z m Z n generado por C n y m rotaciones independientes con un número irracional de vueltas, y m , n ≥ 1; para cada par ( m , n ) hay innumerables grupos de isometría, todos iguales como grupo abstracto; para el par (1, 1) el grupo es cíclico.
- otros subgrupos contables . Por ejemplo, para un número entero n , el grupo generado por todas las rotaciones de un número de vueltas igual a una potencia entera negativa de n
- incontables subgrupos, incluido el propio SO (2)
Para cada subgrupo de SO (2) hay una clase incontable correspondiente de subgrupos de O (2) que son mutuamente isomorfos como grupo abstracto: cada uno de los subgrupos en una clase es generado por el subgrupo mencionado en primer lugar y una sola reflexión en un línea a través del origen. Estos son los grupos diedros (generalizados) , incluidos los finitos D n ( n ≥ 1) del tipo de grupo abstracto Dih n . Para n = 1, la notación común es C s , del tipo de grupo abstracto Z 2 .
Como subgrupos topológicos de O (2), solo los grupos de isometría finitos y SO (2) y O (2) están cerrados.
Estos grupos se dividen en dos familias distintas, según consistan únicamente en rotaciones o incluyan reflejos . Los grupos cíclicos , C n (grupo abstracto tipo Z n ), consisten en rotaciones de 360 ° / ny todos múltiplos enteros. Por ejemplo, un taburete de cuatro patas tiene un grupo de simetría C 4 , que consta de rotaciones de 0 °, 90 °, 180 ° y 270 °. El grupo de simetría de un cuadrado pertenece a la familia de grupos diedros , D n (grupo abstracto tipo Dih n ), que incluye tantas reflexiones como rotaciones. La simetría rotacional infinita del círculo también implica simetría de reflexión, pero formalmente el grupo circular S 1 es distinto de Dih (S 1 ) porque este último incluye explícitamente los reflejos.
Un grupo infinito no necesita ser continuo; por ejemplo, tenemos un grupo de todos los múltiplos enteros de rotación por 360 ° / √ 2 , que no incluye la rotación por 180 °. Dependiendo de su aplicación, la homogeneidad hasta un nivel de detalle arbitrariamente fino en una dirección transversal puede considerarse equivalente a una homogeneidad total en esa dirección, en cuyo caso estos grupos de simetría pueden ignorarse.
C n y D n para n = 1, 2, 3, 4 y 6 se pueden combinar con simetría de traslación, a veces en más de una forma. Así, estos 10 grupos dan lugar a 17 grupos de papel tapiz .
Grupos de simetría
Los grupos de simetría 2D corresponden a los grupos de isometría, excepto que la simetría según O (2) y SO (2) solo se puede distinguir en el concepto de simetría generalizada aplicable para campos vectoriales .
Además, dependiendo de la aplicación, la homogeneidad hasta un detalle arbitrariamente fino en la dirección transversal puede considerarse equivalente a la homogeneidad total en esa dirección. Esto simplifica enormemente la categorización: podemos restringirnos a los subgrupos topológicos cerrados de O (2): los finitos y O (2) ( simetría circular ), y para campos vectoriales SO (2).
Estos grupos también corresponden a los grupos de simetría unidimensional , cuando se envuelven en un círculo.
Combinaciones con simetría traslacional
E (2) es un producto semidirecto de O (2) y el grupo de traducción T . En otras palabras, O (2) es un subgrupo de E (2) isomorfo al grupo cociente de E (2) por T :
- O (2) E (2) / T
Hay un homomorfismo de grupo sobreyectivo "natural" p : E (2) → E (2) / T , enviando cada elemento g de E (2) a la clase lateral de T a la que pertenece g , es decir: p ( g ) = gT , a veces llamado proyección canónica de E (2) sobre E (2) / T u O (2). Su núcleo es T .
Para cada subgrupo de E (2) podemos considerar su imagen bajo p : un grupo de puntos que consta de las clases laterales a las que pertenecen los elementos del subgrupo, en otras palabras, el grupo de puntos obtenido al ignorar las partes traslacionales de las isometrías. Para cada subgrupo discreto de E (2), debido al teorema de restricción cristalográfica , este grupo de puntos es C n o de tipo D n para n = 1, 2, 3, 4 o 6.
C n y D n para n = 1, 2, 3, 4 y 6 se pueden combinar con simetría de traslación, a veces en más de una forma. Así, estos 10 grupos dan lugar a 17 grupos de papel tapiz , y los cuatro grupos con n = 1 y 2 dan lugar también a 7 grupos de frisos .
Para cada uno de los grupos de papel tapiz p1, p2, p3, p4, p6, la imagen debajo de p de todos los grupos de isometría (es decir, las "proyecciones" en E (2) / T o O (2)) son todas iguales a la C correspondiente n ; también dos grupos de frisos corresponden a C 1 y C 2 .
Los grupos de isometría de p6m se asignan cada uno a uno de los grupos de puntos de tipo D 6 . Para los otros 11 grupos de papel tapiz, cada grupo de isometría se asigna a uno de los grupos de puntos de los tipos D 1 , D 2 , D 3 o D 4 . También cinco grupos de frisos corresponden a D 1 y D 2 .
Para una red de traslación hexagonal dada, hay dos grupos D 3 diferentes , que dan lugar a P31m y p3m1. Para cada uno de los tipos D 1 , D 2 y D 4, la distinción entre los grupos de papel tapiz 3, 4 y 2, respectivamente, está determinada por el vector de traducción asociado con cada reflexión en el grupo: dado que las isometrías están en la misma clase lateral independientemente de los componentes de traslación, una reflexión y una reflexión de deslizamiento con el mismo espejo están en la misma clase lateral. Por tanto, los grupos de isometría de, por ejemplo, el tipo p4m y p4g, se asignan ambos a grupos de puntos de tipo D 4 .
Para un grupo de isometría dado, los conjugados de una traducción en el grupo por los elementos del grupo generan un grupo de traducción (una red ), que es un subgrupo del grupo de isometría que solo depende de la traducción con la que comenzamos y el punto grupo asociado con el grupo de isometría. Esto se debe a que el conjugado de la traslación por una reflexión de deslizamiento es el mismo que por la reflexión correspondiente: el vector de traslación se refleja.
Si el grupo de isometría contiene un n rotación -fold entonces el enrejado tiene n simetría -fold incluso para n y 2 n -fold para impar n . Si, en el caso de un grupo de isometría discreto que contiene una traslación, aplicamos esto para una traslación de longitud mínima, entonces, considerando la diferencia vectorial de traslaciones en dos direcciones adyacentes, se deduce que n ≤ 6, y para n impares que 2 n ≤ 6, por lo tanto n = 1, 2, 3, 4 o 6 (el teorema de restricción cristalográfica ).
Ver también
- Grupo de puntos
- Grupos de puntos en tres dimensiones
- Grupos de puntos en cuatro dimensiones
- Grupo de simetría unidimensional
enlaces externos
- [1] , Transformaciones geométricas y grupos de papel tapiz: simetrías de patrones geométricos (grupos discretos de isometrías), por Lance Drager.
- [2] Grupos de puntos y sistemas cristalinos, por Yi-Shu Wei, págs. 4-5
- El centro de geometría: 2.1 fórmulas para simetrías en coordenadas cartesianas (dos dimensiones)