En el espacio euclidiano , la distancia de un punto a un plano es la distancia entre un punto dado y su proyección ortogonal en el plano o el punto más cercano en el plano.
Se puede encontrar comenzando con un cambio de variables que mueve el origen para coincidir con el punto dado y luego encuentra el punto en el plano desplazado.que está más cerca del origen . El punto resultante tiene coordenadas cartesianas:
.
La distancia entre el origen y el punto. es .
Conversión de un problema general en un problema de distancia desde el origen
Suponga que deseamos encontrar el punto más cercano en un plano al punto (), donde el plano viene dado por . Definimos, , , y , para obtener como el plano expresado en términos de las variables transformadas. Ahora el problema se ha convertido en encontrar el punto más cercano en este plano al origen y su distancia al origen. El punto en el plano en términos de las coordenadas originales se puede encontrar desde este punto utilizando las relaciones anteriores entre y , Entre y y entre y ; la distancia en términos de las coordenadas originales es la misma que la distancia en términos de las coordenadas revisadas.
Reexpresión usando álgebra lineal
La fórmula para el punto más cercano al origen se puede expresar de manera más sucinta usando la notación del álgebra lineal . La expresionen la definición de un avión es un producto escalary la expresión que aparece en la solución es la norma al cuadrado. Por tanto, si es un vector dado, el plano puede describirse como el conjunto de vectores para cual y el punto más cercano en este plano es el vector
Tanto en las formulaciones de coordenadas como de vectores, se puede verificar que el punto dado se encuentra en el plano dado introduciendo el punto en la ecuación del plano.
Para ver que es el punto más cercano al origen en el plano, observe que es un múltiplo escalar del vector definiendo el plano y, por tanto, es ortogonal al plano. Por tanto, si es cualquier punto del plano que no sea sí mismo, entonces la línea se segmenta desde el origen hasta y de a formar un triángulo rectángulo , y según el teorema de Pitágoras la distancia desde el origen hasta es
.
Desde debe ser un número positivo, esta distancia es mayor que , la distancia desde el origen hasta . [2]
Alternativamente, es posible reescribir la ecuación del plano usando productos escalares con en lugar del producto escalar original con (porque estos dos vectores son múltiplos escalares el uno del otro) después de lo cual el hecho de que es el punto más cercano se convierte en una consecuencia inmediata de la desigualdad de Cauchy-Schwarz . [1]
Punto más cercano y distancia para un hiperplano y un punto arbitrario
La ecuación vectorial para un hiperplano en-espacio euclidiano dimensional a través de un punto con vector normal es o dónde . [3] La forma cartesiana correspondiente es dónde . [3]
El punto más cercano en este hiperplano a un punto arbitrario es