En matemáticas , un espacio sobrio es un espacio topológico X tal que cada subconjunto cerrado irreductible de X es el cierre de exactamente un punto de X : es decir, cada subconjunto cerrado irreducible tiene un punto genérico único .
Propiedades y ejemplos
Cualquier espacio de Hausdorff (T 2 ) es sobrio (los únicos subconjuntos irreducibles son los puntos), y todos los espacios sobrios son Kolmogorov (T 0 ), y ambas implicaciones son estrictas. [1] La sobriedad no es comparable a la condición T 1 : un ejemplo de un espacio T 1 que no es sobrio es un conjunto infinito con la topología cofinita , siendo todo el espacio un subconjunto cerrado irreductible sin un punto genérico. Además, T 2 es más fuerte que T 1 y sobrio, es decir, mientras que cada espacio T 2 es a la vez T 1 y sobrio, existen espacios que son simultáneamente T 1 y sobrios, pero no T 2 . Un ejemplo de ello es el siguiente: sea X el conjunto de números reales, con un nuevo punto p adjunto; los conjuntos abiertos son todos conjuntos abiertos reales, y todos los conjuntos cofinitos que contienen p.
La sobriedad de X es precisamente una condición que obliga a la red de subconjuntos abiertos de X a determinar X hasta el homeomorfismo , que es relevante para la topología sin sentido .
La sobriedad hace que el preorden de especialización sea un pedido parcial completo dirigido .
Cada poset completo dirigido continuo equipado con la topología de Scott es sobrio.
El espectro primario Spec ( R ) de un anillo conmutativo R con la topología de Zariski es un espacio sobrio compacto . [1] De hecho, cada espacio espectral (es decir, un espacio sobrio compacto para que la colección de subconjuntos abiertos compactos es cerrado bajo intersecciones finitas y forma una base para la topología) es homeomorfo a Spec ( R ) para algunos anillo conmutativo R . Este es un teorema de Melvin Hochster . [2] De manera más general, el espacio topológico subyacente de cualquier esquema es un espacio sobrio.
El subconjunto de Spec ( R ) que consta solo de los ideales máximos, donde R es un anillo conmutativo, no es sobrio en general.
Ver también
- Dualidad de piedra , sobre la dualidad entre espacios topológicos que son sobrios y marcos (es decir, álgebras de Heyting completas ) que son espaciales.
Referencias
- ↑ a b Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Enciclopedia de topología general . Elsevier. pp. 155 -156. ISBN 978-0-444-50355-8.
- ^ Hochster, Melvin (1969), "Estructura ideal primaria en anillos conmutativos", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 142 : 43–60, doi : 10.1090 / s0002-9947-1969-0251026-x
Otras lecturas
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .
- Vickers, Steven (1989). Topología vía lógica . Cambridge Tracts en Informática Teórica. 5 . Cambridge: Cambridge University Press . pag. 66. ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001 .