En geometría , el círculo polar de un triángulo es el círculo cuyo centro es el ortocentro del triángulo y cuyo radio al cuadrado es
donde A, B, C denotan tanto los vértices del triángulo como las medidas de los ángulos en esos vértices, H es el ortocentro (la intersección de las altitudes del triángulo ), D , E , F son los pies de las altitudes desde los vértices A, B, C respectivamente, R es el circunradio del triángulo (el radio de su círculo circunscrito ), y a , b , c son las longitudes de los lados del triángulo opuestos a los vértices A , B , C respectivamente. [1] : pág. 176
Las primeras partes de la fórmula del radio reflejan el hecho de que el ortocentro divide las altitudes en pares de segmentos de productos iguales. La fórmula trigonométrica para el radio muestra que el círculo polar tiene una existencia real solo si el triángulo es obtuso , por lo que uno de sus ángulos es obtuso y, por lo tanto, tiene un coseno negativo .
Propiedades
Cualesquiera dos círculos polares de dos triángulos en un sistema ortocéntrico son ortogonales . [1] : pág. 177
Los círculos polares de los triángulos de un cuadrilátero completo forman un sistema coaxial . [1] : pág. 179
La circunferencia de un triángulo, su círculo de nueve puntos , su círculo polar y la circunferencia de su triángulo tangencial son coaxiales. [2] : pág. 241
Referencias
- ^ a b c Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Publicaciones de Dover, 2007 (orig. 1960).
- ^ Altshiller-Court, Nathan , College Geometry , Publicaciones de Dover, 2007 (orig. 1952).