En la disciplina matemática de la topología general , un espacio polaco es un espacio topológico separable completamente metrizable ; es decir, un espacio homeomorfo a un espacio métrico completo que tiene un subconjunto denso contable . Los espacios polacos se llaman así porque primero fueron estudiados extensamente por topólogos y lógicos polacos: Sierpiński , Kuratowski , Tarski y otros. Sin embargo, los espacios polacos se estudian principalmente en la actualidad porque son el escenario principal para la teoría descriptiva de conjuntos , incluido el estudio de Relaciones de equivalencia borel . Los espacios polacos también son un escenario conveniente para la teoría de medidas más avanzada , en particular en la teoría de la probabilidad .
Ejemplos comunes de espacios polacos son la línea real , cualquier espacio Banach separable , el espacio Cantor y el espacio Baire . Además, algunos espacios que no son espacios métricos completos en la métrica habitual pueden ser polacos; por ejemplo, el intervalo abierto (0, 1) es polaco.
Entre dos espacios polacos incontables cualesquiera , hay un isomorfismo de Borel ; es decir, una biyección que conserva la estructura Borel. En particular, cada espacio polaco incontable tiene la cardinalidad del continuo .
Los espacios de Lusin , los espacios de Suslin y los espacios de Radon son generalizaciones de los espacios polacos.
Los siguientes espacios son polacos:
Existen numerosas caracterizaciones que indican cuándo un segundo espacio topológico contable es metrizable, como el teorema de metrización de Urysohn . El problema de determinar si un espacio metrizable es completamente metrizable es más difícil. A los espacios topológicos como el intervalo unitario abierto (0,1) se les pueden dar tanto métricas completas como incompletas generando su topología.
Hay una caracterización de espacios métricos separables completos en términos de un juego conocido como el juego Choquet fuerte . Un espacio métrico separable es completamente metrizable si y solo si el segundo jugador tiene una estrategia ganadora en este juego.
Una segunda caracterización se deriva del teorema de Alexandrov. Establece que un espacio métrico separable es completamente metrizable si y solo si es un subconjunto de su finalización en la métrica original.
Aunque los espacios polacos son metrizables, no son en sí mismos espacios métricos ; cada espacio polaco admite muchas métricas completas que dan lugar a la misma topología, pero ninguna de ellas se destaca ni se distingue. Un espacio polaco con una métrica completa distinguida se denomina espacio métrico polaco . Un enfoque alternativo, equivalente al que se da aquí, es primero definir "espacio métrico polaco" para que signifique "espacio métrico separable completo", y luego definir un "espacio polaco" como el espacio topológico obtenido de un espacio métrico polaco olvidando la métrica.
Un espacio topológico es un espacio de Lusin si es homeomorfo a un subconjunto de Borel de un espacio métrico compacto. [4] [5] Una topología más fuerte convierte a un Lusin en un espacio polaco.
Hay muchas formas de formar espacios Lusin. En particular:
Un espacio de Suslin es la imagen de un espacio polaco bajo un mapeo continuo. Así que cada espacio de Lusin es Suslin. En un espacio polaco, un subconjunto es un espacio Suslin si y solo si es un conjunto Suslin (una imagen de la operación Suslin ). [11]
Los siguientes son espacios de Suslin:
Tienen las siguientes propiedades:
Un espacio Radon , llamado así por Johann Radon , es un espacio topológico tal que cada medida de probabilidad de Borel en M es regular interior . Dado que una medida de probabilidad es globalmente finita y, por tanto, una medida localmente finita , toda medida de probabilidad en un espacio de radón es también una medida de radón . En particular, un espacio métrico completo separable ( M , d ) es un espacio de radón.
Cada espacio de Suslin es Radon.
Un grupo polaco es un grupo topológico G que también es un espacio polaco, en otras palabras, homeomorfo a un espacio métrico completo separable. Hay varios resultados clásicos de Banach , Freudenthal y Kuratowski sobre homomorfismos entre grupos polacos. [12] En primer lugar, el argumento de Banach (1932 , p. 23) se aplica mutatis mutandi a grupos polacos no abelianos: si G y H son espacios métricos separables con G polaco, entonces cualquier homomorfismo de Borel de G a H es continuo. [13]En segundo lugar, hay una versión del teorema del mapeo abierto o del teorema del grafo cerrado debido a Kuratowski (1933 , p. 400) : un homomorfismo inyectivo continuo de un subgrupo polaco G sobre otro grupo polaco H es un mapeo abierto. Como resultado, es un hecho notable acerca de los grupos polacos que los mapeos mensurables de Baire (es decir, para los cuales la preimagen de cualquier conjunto abierto tiene la propiedad de Baire ) que son homomorfismos entre ellos son automáticamente continuos. [14] El grupo de homeomorfismos del cubo de Hilbert [0,1] N es un grupo polaco universal, en el sentido de que cada grupo polaco es isomorfo a un subgrupo cerrado de él.
Ejemplos: