En matemáticas , un espacio poliádico es un espacio topológico que es la imagen bajo una función continua de un poder topológico de una compactación de un punto de Alexandroff de un espacio discreto .
Historia
Los espacios poliadicos fueron estudiados por primera vez por S. Mrówka en 1970 como una generalización de los espacios diádicos . [1] La teoría fue desarrollada por RH Marty, János Gerlits y Murray G. Bell, [2] el último de los cuales introdujo el concepto de espacios centrados más generales . [1]
Fondo
Se dice que un subconjunto K de un espacio topológico X es compacto si cada cubierta abierta de K contiene una subcubierta finita. Se dice que es localmente compacto en un punto x ∈ X si x se encuentra en el interior de algún subconjunto compacto de X . X es un espacio localmente compacto si es localmente compacto en todos los puntos del espacio. [3]
Un subconjunto apropiado A ⊂ X se dice que es densa si el cierre  = X . Un espacio cuyo conjunto tiene un subconjunto denso y contable se denomina espacio separable .
Para un espacio topológico de Hausdorff no compacto y localmente compacto , definimos la compactificación de un punto de Alexandroff como el espacio topológico con el conjunto , denotado , dónde , con la topología definido como sigue: [2] [4]
- , para cada subconjunto compacto .
Definición
Dejar ser un espacio topológico discreto, y dejar ser una compactación de un punto de Alexandroff de . Un espacio de Hausdorffes poliadica si por algun numero cardinal , existe una función sobreyectiva continua , dónde es el espacio del producto obtenido al multiplicar consigo mismo veces. [5]
Ejemplos de
Toma el conjunto de números naturales con la topología discreta. Su compactación de un punto Alexandroff es. Escoger y definir el homeomorfismo con el mapeo
De la definición se desprende que el espacio es políada y compacta directamente de la definición de compacidad, sin utilizar Heine-Borel.
Todo espacio diádico (un espacio compacto que es una imagen continua de un conjunto de Cantor [6] ) es un espacio poliádico. [7]
Sea X un espacio compacto y separable. Si X es un espacio metrizable , entonces es poliadico (lo contrario también es cierto). [2]
Propiedades
La celularidad de un espacio es . La tirantez de un espacio se define de la siguiente manera: let , y . Definimosy definir . Luego[8] El peso topológico de un espacio poliadico satisface la igualdad . [9]
Dejar ser un espacio poliadico, y dejar . Entonces existe un espacio poliadico tal que y . [9]
Los espacios poliádicos son la clase más pequeña de espacios topológicos que contienen espacios compactos métricos y están cerrados bajo productos e imágenes continuas. [10] Cada espacio poliadico de peso es una imagen continua de . [10]
Un espacio topológico X tiene la propiedad de Suslin si no hay una familia incontable de subconjuntos abiertos no vacíos separados por pares de X. [11] Suponga que X tiene la propiedad de Suslin y X es poliada. Entonces X es diádico. [12]
Dejar ser el menor número de conjuntos discretos necesarios para cubrir , y deja denotar la mínima cardinalidad de un conjunto abierto no vacío en . Si es un espacio poliadico, entonces . [9]
Teorema de ramsey
Hay un análogo del teorema de Ramsey de la combinatoria para espacios poliádicos. Para ello, describimos la relación entre espacios booleanos y espacios poliádicos. Dejardenotar el álgebra clopen de todos los subconjuntos clopen de. Definimos un espacio booleano como un espacio compacto de Hausdorff cuya base es. El elemento tal que se llama el grupo electrógeno para . Decimos es un -colección disjunta si es la unión de a lo sumo subcolecciones , donde para cada , es una colección desarticulada de cardinalidad a lo sumo Petr Simon demostró que es un espacio booleano con el grupo electrógeno de ser -disjunto si y solo si es homeomorfo a un subespacio cerrado de . [8] La propiedad similar a Ramsey para los espacios poliádicos, según lo establecido por Murray Bell para los espacios booleanos, es entonces la siguiente: cada colección clopen incontable contiene una subcolección incontable que está ligada o disjunta. [13]
Compacidad
Definimos el número de compacidad de un espacio., denotado por , ser el menor número tal que tiene una subbase cerrada n-aria . Podemos construir espacios poliádicos con un número de compacidad arbitrario. Demostraremos esto usando dos teoremas probados por Murray Bell en 1985. Sea ser una colección de conjuntos y dejar ser un conjunto. Denotamos el conjunto por ; todos los subconjuntos de de tamaño por ; y todos los subconjuntos de tamaño como máximo por . Si y para todos , entonces decimos que está vinculado a n. Si cada subconjunto n-ligado de tiene una intersección no vacía, entonces decimos que es n-ario. Tenga en cuenta que si es n-ario, entonces también lo es , y por lo tanto cada espacio con tiene una subbase n-aria cerrada con . Tenga en cuenta que una colección de subconjuntos cerrados de un espacio compacto es una subbase cerrada si y solo si para cada en un set abierto , existe un finito tal que y . [14]
Dejar ser un conjunto infinito y dejar por un número tal que . Definimos la topología del producto en de la siguiente manera: para , dejar , y deja . Dejar ser la colección . Nosotros tomamos como una subbase abierta para nuestra topología en . Esta topología es compacta y de Hausdorff. Para y tal que , tenemos eso es un subespacio discreto de , y de ahí que es una unión de subespacios discretos. [14]
Teorema (límite superior de): Para cada pedido total en , hay un -subbase cerrada cerrada de .
Prueba : Para, definir y . Colocar. Para, y tal que , dejar tal que es un -subconjunto vinculado de . Muestra esa.
Para un espacio topológico y un subespacio , decimos que una función continua es una retractacion si es el mapa de identidad en . Nosotros decimos eso es una retractación de . Si existe un conjunto abierto tal que , y es una retractación de , entonces decimos que es una retractación de barrio de .
Teorema (límite inferior en) Dejar ser tal que . Luego no se puede incrustar como retracción de vecindario en ningún espacio con .
De los dos teoremas anteriores, se puede deducir que para tal que , tenemos eso .
Dejar ser la compactación de un punto de Alexandroff del espacio discreto , así que eso . Definimos la sobreyección continua por . Resulta quees un espacio poliadico. Por eso es un espacio poliadico con numero de compacidad . [14]
Generalizaciones
Los espacios centrados, los espacios AD-compact [15] y los espacios ξ-ádicos [16] son generalizaciones de espacios poliádicos.
Espacio centrado
Dejar ser una colección de conjuntos. Nosotros decimos eso está centrado si para todos los subconjuntos finitos . [17] Definir el espacio booleano, con la topología del subespacio de . Decimos que un espacio es un espacio centrado si existe una colección tal que es una imagen continua de . [18]
Los espacios centrados fueron introducidos por Murray Bell en 2004.
Espacio compacto AD
Dejar ser un conjunto no vacío y considerar una familia de sus subconjuntos . Nosotros decimos eso es una familia adecuada si:
- dado , si cada subconjunto finito de es en , luego .
Podemos tratar como un espacio topológico considerándolo un subconjunto del cubo de Cantor , y en este caso lo denotamos .
Dejar ser un espacio compacto. Si existe un conjunto y una familia adecuada , tal que es la imagen continua de , entonces decimos que es un espacio compacto de AD.
Los espacios AD-compact fueron introducidos por Grzegorz Plebanek. Demostró que están cerrados bajo productos arbitrarios y compactaciones de Alexandroff de uniones disjuntas . De ello se deduce que todo espacio poliadico es, por tanto, un espacio compacto AD. Lo contrario no es cierto, ya que hay espacios AD-compact que no son poliados. [15]
espacio ξ-ádico
Dejar y ser cardenales, y dejar ser un espacio de Hausdorff. Si existe una continua sobreyección de a , luego se dice que es un espacio ξ-ádico. [dieciséis]
Los espacios ξ-ádicos fueron propuestos por S. Mrówka, y los siguientes resultados sobre ellos fueron dados por János Gerlits (también se aplican a los espacios poliádicos, ya que son un caso especial de los espacios ξ-ádicos). [19]
Dejar ser un cardenal infinito, y dejar ser un espacio topológico. Nosotros decimos eso tiene la propiedad si para alguna familia de subconjuntos abiertos no vacíos de , dónde , podemos encontrar un conjunto y un punto tal que y para cada barrio de , tenemos eso .
Si es un espacio ξ-ádico, entonces tiene la propiedad por cada cardenal infinito . De este resultado se deduce que ningún espacio de Hausdorff ξ-ádico infinito puede ser un espacio extremadamente desconectado . [19]
Espacio hyadic
Los espacios hiádicos fueron introducidos por Eric van Douwen . [20] Se definen como sigue.
Dejar ser un espacio de Hausdorff. Denotamos por el hiperespacio de . Definimos el subespacio de por . Una base de es la familia de todos los conjuntos de la forma , dónde es cualquier número entero, y están abiertos en . Si es compacto, entonces decimos un espacio de Hausdorff es hyadic si existe una continua sobreyeccin de a . [21]
Los espacios poliadicos son hiadicos. [22]
Ver también
- Espacio diádico
- Eberlein compactum
- Espacio de piedra
- Compactación Stone – Čech
- Espacio supercompacto
Referencias
- ↑ a b Hart, Klaas Pieter ; Nagata, Jun-iti ; Vaughan, Jerry E. (2003). "Compacta diádica". Enciclopedia de topología general . Ciencia de Elsevier . pag. 193 . ISBN 978-0444503558.
- ^ a b c Al-Mahrouqi, Sharifa (2013). Espacios topológicos compactos inspirados en construcciones combinatorias (Tesis). Universidad de East Anglia . págs. 8-13.
- ^ Møller, Jesper M. (2014). "Espacios topológicos y mapas continuos". Topología general . pag. 58. ISBN 9781502795878.
- ^ Tkachuk, Vladimir V. (2011). "Nociones básicas de topología y espacios funcionales". Un libro de problemas de teoría Cp: espacios topológicos y funcionales . Springer Science + Business Media . pag. 35 . ISBN 9781441974426.
- ^ Turzański, Marian (1996). Cantor Cubes: Condiciones de la cadena . Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego . pag. 19. ISBN 978-8322607312.
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|journal=
( ayuda ) - ^ Bell, Murray (2004). "Espacios funcionales sobre τ-Corson compacta y estanqueidad de espacios poliadicos" . Revista matemática checoslovaca . 54 (4): 899–914. doi : 10.1007 / s10587-004-6439-z .
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